极点极线问题 讲义——2024届高三数学一轮复习微专题

极点极线问题 一、定义 对于圆锥曲线，已知点（非中心）及直线，则称点是直线关于圆锥曲线的极点，直线称为点关于圆锥曲线的极线。显然，圆锥曲线的准线即焦点关于该圆锥曲线的极线。 配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共点。 二、极点极线的几何意义（以椭圆为例） 已知椭圆方程：，设点的极线. （1）当点在椭圆上时，极线是以点为切点的切线。（极点在极线上） 由知，当时，， ∴点为切点的切线方程为： ，（求导） 整理得：，即此时极线为过点的切线. （2）当点在椭圆外时，极线与椭圆相交，且为由点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。 设， ，. ∴， 即点,均满足 ∴极线即为切点弦所在直线方程. （3）当点在椭圆内时，极线与椭圆相离，极线为经过点的弦在两端点处的切线交点的轨迹，且极线与以点为中点的弦所在的直线平行。 过点做椭圆的一条弦，与椭圆交于两点，设，，以为切点的切线相交于点 ， ∵点在直线上 ∴即点在直线上 又∵以点为中点的弦，由点差法知 即极线与中点弦平行. 三、自极三角形 椭圆内接四边形，对角线与交于点，分别延长交于点，则叫自极三角形。 若点为极点，则直线是它的极线； 若点为极点，则直线是它的极线； 若点为极点，则直线是它的极线； 四、“留一代一法”求切线方程 圆锥曲线在点处的切线方程如下表所示： 曲线方程 切线方程 五、极点极线的应用 应用一：证明动点在定直线上 例1：点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，椭圆在点处的切线为，是椭圆的右焦点，点在切线上且满足，证明：点在定直线上. 【解析】 设，则切线的方程为， 又，当时，存在，此时，从而； 当时，切线与轴的交点为，此时，也满足. 因此，直线的方程为. ∴有，得， 即点在定直线上. 应用二：证明动直线过定点 例2：（2020年全国Ⅰ卷理T20）已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，,为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为. （1）求的方程； （2）证明：直线过定点. 【解析】 （1）依题意得：，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，∴ ∴的方程为：. （2）根据自极三角形的定义： 设四边形的对角线相交于点， 则，即 解得，即 应用三：证明线段（向量）乘积为定值 例3：（2011年四川卷理T21）椭圆有两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并于轴交于点.直线与直线交于点. （1）当时，求直线的方程； （2）当点异于两点时，求证：为定值. 【解析】 （1）依题意，设椭圆的标准方程为， 由已知得，，∴. ∴椭圆的方程为 依题意得，直线的斜率存在，设，， 联立得，. 则，， ∴. 解得 ∴直线的方程为. （2）设点关于椭圆的极线为，即. ∴点在直线上，设， 即. 六、高考真题 1.（2021年新高考全国Ⅱ卷T11）已知直线与圆,点，则下列说法正确的是（ ） A.若点在圆上，则直线与圆相切 B.若点在圆内，则直线与圆相离 C.若点在圆外，则直线与圆相离 D.若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【解析】由极点极线的几何意义可知 2.（2021年新高考全国乙卷理T21）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4. （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值. 【解析】 （1）依题意，抛物线的焦点，圆的圆心，半径是1. ∵点与圆上点的距离的最小值为4， 得，解得. （2）抛物线的方程为，设点，， ∴直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， ∴ , 点到直线的距离, ∴， ∵， 由已知可得，， ∴当时，的面积取最大值. 七、练习 1.设曲线过点，且左焦点，直线. （1）求曲线的方程； （2）若点为直线上任意一点，且直线分别与曲线相切于，求证：直线过定点. 【解析】 （1）依题意得，，即. 又∵点在曲线上 ∴，联立 得或(舍去). ∴. 故曲线的方程为. （2）设点，得，即 ∵点在直线上， ∴ 得： 整理得： ∴，解得 即直线过定点. 2.如图，是椭圆的左、右顶点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，设，证明：为定值. 【解析】 依题意得 点得极线为，即. 设与的交点为. ∴. $$