专题4.15 探索三角形相似的条件（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.15 探索三角形相似的条件（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】相似三角形 1.定义 三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 数学表达式：如图一：在ABC和DEF中， 图一 2.全等三角形是相似三角形，其相似比为1，而相似三角形不一定是全等三角形。 【知识点2】两角分别相等的两个三角形相似 （1） 定理 两角分别相等的两个三角开相似； 数学表达式：如图一：在ABC和DEF中， 3.常见相似三角形的类型 （1）平行线型 如图二、图三，若DEBC,则 图二 图三 图四 图五 图六 图七 （2） 相交线型 如图四，若,则; 如图五，若,则; （3） “子母”型 如图六，若,则; （4）“一线三等角”型 如图七，若,则; 要点注意： 由两角相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般选相等的角作为对应角。如公共角、对顶角、同角（等角）的余（补）角相等，解题要挖掘题中的隐含条件； 【知识点2】两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似 1. 相似三角形的判定定理 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图八：在ABC和DEF中， 图八 要点注意： 应用此定理时，一定要注意边角关系，相等的角一定是两边的夹角，类似于判定三角形全等SAS方法。 【知识点3】三边对应成比例的两个三角形相似 1. 相似三角形的判定定理 三边对应成比例的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图九 在ABC和DEF中， 图九 要点注意： 三边对应成比例两个三角形相似的判定方法与三边对应相等两个三角形全等判定方法相似，只需要把三边对应相等改为三边对应成比例即可； 【考点一】两角对应相等，两三角形相似 【例1】如图，与中，，； 证明：．    【分析】根据，得出，进而可得出结论． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相似三角形的判定逐一进行判断即可． 解：，且， ， ，故选项B正确，不符合题意； ， ，故选项A正确，不符合题意； ， ，故选项C正确，不符合题意； 由条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【变式2】如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线） 【答案】3 【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成． 解：在△ABC与△DBA中， ∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C， ∴△ABC∽△DBA， 在△ABF与△CBE中， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， 又∠BAF＝∠BCE， ∴△ABF∽△CBE． 同理可证得：△ABE∽△DBF， 所以图形中共有3对相似三角形． 故答案为：3． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点． 【考点三】两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 【例2】已知如图，D，E分别是的边上的点，． 求证：． 【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证． 解：∵， 又∵， ∴． 【点拨】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用相似三角形的判定方法结合正方形的性质分析得出答案． 解：由题意可得：，， ，，，， ，， ， 又， ． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，正确得出对应边的关系是解题关键． 【变式2】如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 【答案】 【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解． 解：设AP， ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD， ∴AP=PB=BC=CD， ∴AB=， ∴，， ∴， 又∵∠ABC=∠DBA， ∴△ABC∽△DBA， 故答案为：△ABC∽△DBA． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定