第一章特殊平行四边形微专题——含辅助线压轴证明题 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版数学九年级上册 第一章特殊平行四边形微专题——含辅助线压轴证明题 1．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 2．如图1，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的点落在正方形的边上，如图2，连接，点是的中点，连接，延长交于点．请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点，是经过点且与平行的直线上一点，且，点在线段上，且满足，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 4．正方形中，点E、F在、上，且，与交于点G． (1)如图1，求证； (2)如图2，在上截取，的平分线交于点H，交于点N，连接，求证：①是等腰直角三角形；②． 5．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，点E是边AD的中点，点F是线段AE上一点（点F不与点A，E重合），连接BF，过点F作直线BF的垂线，与线段CE交于点G，连接BG，点H是线段BG的中点． (1)若CE=2，求矩形ABCD的面积； (2)求证：BF=EH. 6．在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取，连接BE，过点A作于点F，延长AF交BC于点M． (1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若，求的面积； (2)如图2，过点A作于点A，交CD的延长线于点P，求证：． 7．如图，四边形是正方形，点E在的延长线上，连接，绕点E逆时针旋转得到，连接，与对角线交于点G． (1)若，求的长度； (2)求证：． 8．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH， (1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值． 9．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE． (1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数； (2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值． 10．如图，正方形ABCD的边长为6， 点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F， 连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H． (1)若BD＝BF，求BE的长； (2)若∠2＝2∠1，求证：HF＝HE＋HD． 11．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． (1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； (2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； (3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 12．如图，在菱形中，，，于点，点为线段上的动点，为线段上任意一点，连接和． （1）如图1，当时，求的长． （2）如图2，作交于点，为的中点，连接，，．猜想线段与存在的数量关系，并证明你猜想的结论． （3）在点的运动过程中，当的值最小时，请直接写出的长． 13．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF⊥l于点F，DG⊥l于点G，连接OF，OG （1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF、OG的数量关系； （2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请说明你的结论； （3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，OF与OG有什么数量关系？请说明你的结论． 14．如图，在菱形和菱形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，． （1）如图1，探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明； （2）如图1，若，，求菱形的面积． （3）如图2，将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，若，请直接写出与的数量关系． 15．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G，CH⊥DE，垂足为H，CH的延长线与AB相交于点F，点P在边AB上 （1）若DG=，AG=1，求AB的长 （2）求证DG=CF+FG （3）若AP=1，AD=，请