21.2.3 因式分解法 课件2022-2023学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.2.3 解一元二次方程 - - 因式分解法 01 ｜ 掌握用因式分解法解一元 二次方程的基本步骤 02 在因式分解法求解一元二次方程中，体会“降次”的数学思想方法 学习目标 ｜ 复习旧知 请分别用配方法和公式法解方程：10x-4.9x2= 0 配方法： 解： 复习旧知 请分别用配方法和公式法解方程：10x-4.9x2= 0 公式法： 解： a = 4.9，b = -10，c = 0. ∴ Δ = b2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 = 100. 4.9x2 - 10x = 0. 是否还有更简单 的方法呢？ 新知探究 用配方法和公式法解方程10x－4.9x2＝0时，一元二次方程是如何降为一次的？ 能否使用因式分解的方法进行降次呢？ 新知探究 解方程10x－4.9x2＝0 分解因式： 降次： 解这两个一次方程，得x1＝0，x2＝ ． 左边提公因式，得x(10－4.9x)＝0， 把方程化为两个一次方程，得x＝0或10－4.9x＝0， 求解： 如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0. 归纳总结 因式分解法： 使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 理论依据： ab＝0 a＝0或b＝0． 降次 典例精析 例1 解下列方程：x(x－2)＋x－2＝0． 解法一：提公因式，得 (x－2)(x＋1)＝0． x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 整体思想：公因式x－2 解法二：整理，得x2－x－2＝0， 因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0． 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1． 十字相乘，因式分解 典例精析 例2 解下列方程： 解：移项、合并同类项，得 4x2－1＝0 因式分解，得(2x＋1)(2x - 1) = 0 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. 解得： 一移 二分 三化 四解 归纳总结 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根． 1．移项：将方程的右边化为0； 2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 用因式分解法解一元二次方程的步骤 归纳总结 常见类型 因式分解 方程的解 x2＋bx＝0 x(x＋b)＝0 x1＝0，x2＝－b x2－a2＝0 (x－a)(x＋a)＝0 x1＝－a，x2＝a x2±2ax＋a2＝0 (x±a)2＝0 x1＝x2＝∓a x2＋(a＋b)x＋ab＝0 （a，b为常数） (x＋a)(x＋b)＝0 x1＝－a，x2＝－b 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 练一练 解下列方程： (1) (x + 1)2 = 5x + 5 (2)x2 + 4x − 5 = 0 即 x1 = −1，x2 = 4． 解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)， ∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. 则 (x + 1)(x − 4) = 0. ∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = −5，x2 = 1． 练一练 解下列方程： (3) (x + 3)(x − 1) = 5 (4) 2x2 − 7x + 3 = 0 即 x1 = −4，x2 = 2． 解：整理得 x2 + 2x − 8 = 0， 分解因式，得： (x + 4)(x − 2) = 0. ∴ x + 4 = 0，或 x − 2 = 0， 解：分解因式，得 (2x − 1)(x − 3) = 0， 解得 x1 = ，x2 = 3． 合作探究 解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0。 解：设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0. 分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4. ①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解； ②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1. 解得 x＝±1. 所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1. 令 (x2＋3)＝y y2－4y＝0 y(y－4)＝0 y＝0，原方程无解 y＝4，x1＝1，x2＝－1 y＝0 或 y＝4 课堂小结 定义 因式分解法 使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使