第二章 2.2 第2课时 基本不等式的综合应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(课时作业)

学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y课后案学业评价·层级训练 /夯基础·提技能·煮养达成 [必备知识基础巩固] 1.设x>0,则y=3-3x一1x的最大值是() A.3 B.-32 C.3-23 D.-1 解析，x>0,∴y=3-\a\vs4\al\co1(3x+\f(1x)≤3-21x)=3-23.当且仅当3x =1x,且x>0,即x=3)3时，等号成立. 答案C 2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种 长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是() A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m 解析设两直角边分别为am,bm,直角三角形的框架的周长为1m,则12ab=2, .ab=4,1=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6.828(m). ,要求够用且浪费最少，∴选用7m的铁丝. 答案C 3.(多选)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是() A.a2+1>a B.a2+9>6a C.(a++b)aws4alcol(f(116)4 D \a\vs4\al\col (a++ f(1a))\a\vs4\al\col(b+f(1b))24 解析设a>0,b>0, a2+1-a=\a\vs4\al\co1(a+\f(12)2+34>0,A成立： a2+9-6a=(a-3)2≥0，B不成立： (a+b)avs4 alcol(f(11b)=2+ba+ab≥4，故C成立： a十1a≥2，b十1b≥2，故D成立，故选ACD. 答案ACD 4.若a>0,b>0,且a+b=2ab,那么a+2b的最小值是() A.6 B.3+22 C.22 D.32+2 解析：a>0,b>0,且a+b=2ab, .12b+12a=1. a+2b=(a+2b)aws4alcol(f(112a)=32+a2b+ba32+2aba=32+2, 当且仅当a2b=ba且12b+12a=1,即a=2)+12,b=2)4时，等号成立. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 所以a+2b的最小值为32+2 答案D 5.已知>0，y>0,2x+3y=6,则y的最大值为 解析因为x0,y>0,2x+3y=6,所以y=16(2r3y)≤16\avs4a1\co1(f(2x+3y2) 2=16\avs4\al\co1(f(62)2=32, 当且仅当2x=3y,即x=32,y=1时，等号成立，y取到最大值32 答案32 6.已知心0，y0,且x+2y=2,那么y的最大值是 ,1x+1y的最小值是 解析0，y0,x+2y=2≥22xy, .2y≤1，y≤12，当且仅当x=2y, 即x=1,y=12时取等号。 y的最大值是12 又由x+2y=2,得12c+2y)=1, ∴.1x+1y=12x+2y)avs4 alicol0f11y=123+2yx+xy≥123+22)， 当且仅当x=2y,即x=22-2,y=2-2时取等号，∴.1x+1y的最小值是12(3+22). 答案1212(3+22) 7.若不等式x2一ax十1≥0对一切x>0恒成立，则a的取值范围是 解析x2-m十1≥0，x>0恒成立=m≤x2+1,x>0恒成立÷a≤x十1x,x>0恒成立。 x>0,x十1x≥2（当且仅当x=1x,即x=1时，等号成立），∴.a≤2 答案{dla≤2} 8.当x<32时，求函数y=x+82x一3的最大值. 解析y=12(2x-3)+82x-3+32 =-\alvs4\alicol(f(3-2x83-2x)+32, 当<32时，3一2x>0, .3-2x2+83-2x≥23-2x83-2x=4, 当且仅当3-2x2=83-2x,即x=-12时取等号. 于是y≤-4+32=-52，故函数有最大值一52 [关键能力综合提升] 9.已知x>0,y>0,且x十y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为() A.16 B.25 C.9 D.36 解析(1+x)1+)≤\f(1+x+1+y2)2 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =f(2+x+y2)2=\a\vs4\a1\co1(f(2+82)2=25, 因此当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时，(1+x)(1+y取得最大值25，故选B 答案B 10.要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中， 面积最大的一个矩形的面积为() A.50 B.253 C.503 D.100 解析设矩形的长和宽分别为、y,则x2+y2=100 于是S=y≤x2+y22=50,