第二章 2.3 第2课时 一元二次不等式的综合应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#第2课时　一元二次不等式的综合应用 　解下列不等式． (1)≥0； (2)>1. [解析]　(1)原不等式等价于 即⇒－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化为－1>0，即<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0.∴<x<. ∴原不等式的解集为. [规律方法] 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． [触类旁通] 1．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式>0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞2}　 B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 解析　依题意，a>0且－＝1. >0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔(x－2)>0，即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1. 答案　A 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0. 若m≠0，⇒－4<m<0. ∴－4<m≤0， 即m的取值范围是{m|－4＜m≤0}． (2)解法一　要使y<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，就要使m2＋m－6<0在1≤x≤3上恒成立． 令y2＝m2＋m－6,1≤x≤3. 当m>0时，y2是增函数，∴y2在x＝3时有最大值7m－6<0， ∴0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，y2是减函数， ∴y2在x＝1时有最大值m－6<0，得m<6. ∴m<0. 综上所述，m的取值范围是. 解法二　当x∈[1,3]时，y<－m＋5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围是. [规律方法] 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 3．y≤a恒成立⇔a≥ymax，y≥a恒成立⇔a≤ymin. [触类旁通] 2．已知y＝x2＋2(a－2)x＋4. (1)如果对一切x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 解析　(1)由题意可知，只有当二次函数y＝x2＋2(a－2)x＋4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ<0，即4(a－2)2－16<0，解得0<a<4，即实数a的取值范围为{a|0＜a＜4}． (2)若对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立，则满足题意的函数y＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示． 由图象可知，此时a应该满足解得 这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足： 对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立． 　某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划将图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [解析]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， ∴＝，即＝， 解得AD＝20－x， ∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为 S＝x(0＜x＜30)， 即S＝20x－x2(0＜x＜30)． (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0. 解得12≤x≤18. ∴AB的长度取值范围为{x|12≤x≤18}． [素养聚焦]　通过一元二次不等式的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中． [规律方法] 解不等式应用题，一般可按以下四步进行 (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． [触类旁通] 3．某农贸公司按每担 200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万