第二章 2.2 第2课时 基本不等式的综合应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时 基本不等式的综合应用 课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新知·素养初成 教材梳理町 导学 利用基本不等式求最值的策略 阿题)利用基本不等式求最值时，应满足什么条件？ 提示：满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所 谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到 间题2当给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？ 提示：先变形，后应用 ©结论形成 利用基本不等式求最值的策略 一正各数均为正 探求条件 二定 和或积为定值 策略 三相等等号能否成立 结合已知条件对要求的 钩造定值 代数式变形， 构造出和 或积的定值，再利用基 本不等式求最值 「基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥a+b22均成立.() (2)若x>1,则x十1x一1≥1.() (3)a,b异号时，ba+ab≤-2.() (4)当x≥2时，x+1x的最小值为2.() 答案(1)√(2)√(3)√(4)× 2.已知0<1，则x(3-3x)取最大值时x的值为( ) A.12 B.34 C.23 D.25 解析0x<1,∴1-0， 则x3-3x)=3[x(1-x]≤3×\avs4\a1\co1f(x+1-x2))2=34,当且仅当x=1-x, 即x=12时，等号成立 答案A 3,已知x>0,y>0,且y=100,则x十y的最小值为 解析x十y≥2xy=20,当且仅当x=y=10时，等号成立. ·独家授权侵权必究 亨学科网书城画 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案20 4.若0，y>0,且x十4y=1,则y的最大值为 解析1=x+4y≥24xy=4xy, y≤116，当且仅当x=4y=12时等号成立. 答案116 课堂案关键能力·互动探究 /见规律·悟方法·素养提开 题型一利用基本不等式求最值（一题多解》 例山(1)已知0，求函数y=x2+5x十4x的最小值： (2)已知0<13，求函数y=x(1一3x)的最大值 [解析](1)：y=x2+5x+4x=x+4x+5≥24+5=9， 当且仅当x=4x,即x=2时等号成立， 故y=x2+5x十4x(x>0)的最小值为9 (2)解法一0<x<13,∴.1-3x>0 y=x(1-3x)=133m1-3x) ≤131f(3x+1-3x2)2=112, 当且仅当3x=1-3x,即x=16时，等号成立. ∴.当x=16时，函数取得最大值112 解法二0x<13,.13-x>0 .y=x(1-3x)=3x\a\vs4\al\co1f(13)-x $3\aws4\alicol(f(x+\f(132)2=112, 当且仅当x=13一x,即x=16时，等号成立. .当x=16时，函数取得最大值112 [规律方法] 1.应用基本不等式的条件：“一正、二定，三相等”，在求最值时必须同时具备，解答 本题易漏掉等号成立的条件。 2.此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和 技巧性。常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等. [触类旁通] 1.已知x<54,求函数y=4x一2+14x一5的最大值. 解析x<54,∴.5-4x>0, y=4r-2+14x-5=4x-5+14x-5+3 =-5-4x+\f(15-4x)+3≤-2+3=1 当且仅当5-4=15-4x,即x=1时等号成立， ·独家授权侵权必究 亨学科网书城画 品牌书店·知名教数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴.当x=1时，ymx=1 题型二求有约束条件的最值（一题多解》 例已知a>0,b>0,a+2b=1,求1a+1b的最小值， [解析]解法一1a+1b=avs4acol0f11b)1 =\aws4alcol(f(11b)-(a+2)=1+2ba+ab+2 =3+2ba+ab≥3+22bab=3+22, 当且仅当f2baba+2b=1,即a=r2r(22)时等号成立. .1a十1b的最小值为3+22 解法二1a+1b=a+2ba+a+2bb=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22， 当且仅当f2baba十2b=1,即a=r2r(22)时等号成立，∴.1a+1b的最小值为3+22. [素养聚焦]通过解决含有条件的最值问题，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中 「规律方法] 1.本题在解答中要注意使1a十1b取最小值所对应a,b的值也要一并解出来. 2.解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造