第二章 2.2 第1课时 基本不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #2.2基本不等式 学业标准 素养目标 1会推导均值不等式，理解均值不等式的几何 1通过均值不等式的推导，培养直观想象、数 意义 学抽象等核心素养 2.掌握均值不等式，明确等号成立的条件及 2.通过均值不等式的应用，培养逻辑推理、 利用均值不等式求最值.（重点） 数学运算等核心素养 3.会用均值不等式证明不等式.（难点） 第1课时 基木不芬式 丫课前案必备知识· 自主学习 /通教材·理新知·素养初成 [教材梳理町 导学1 基本不等式 问题0 如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样 的不等式？ [提示]a+b≥2ab 问题2 不等式a2+b2≥2ab与ab≤a十b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ [提示]不同，a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R:ab≤a十b2成立的条件是a,b均为 正实数 阿题3 a+b2≥ab与\a\vs4\al\col(f(a+b2)2≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R @结论形成 算术平均数 给定两个正数a,b,数a十b2称为a,b的算术平均数 几何平均数 给定两个正数a,b,数ab称为a,b的几何平均数 基本不等式 如果a,b都是正数，那么a十b2≥ab,当且仅当a=b时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 导学2 利用基本不等式求最值 间题 己知函数y=x(1一x(0x<1),该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等 式求它的最值？ [提示最大值：能。 01,1-x0, 又，a+b2≥ab,∴.ab≤avs4\al\col(f(a+b2)2, .x1-x)≤\a\vs4al\co1(f(x+1-x2)2=14, ◆独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 当且仅当x=1一x,即x=12时，y有最大值14 ©结论形成 已知x,y都是正数 和定积最大 若x十y等于定值S,那么当x=y时，积y有最大值14 积定和最小 若y等于定值P,那么当x=y时，和x十y有最小值2卫 [基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab均成立.() (2)若a0,b>0且a≠b,则a+b>2ab.() (3)若a>0,b>0,则ab≤a\vs4al\co1f(a+b2))2.() (40a,b同号时，ba+ab≥2.() 答案(1)√(2)√(3)√(4√ 2.不等式9x-2十x一2)≥6（其中x>2)中等号成立的条件是(） A.x=3 B.x=-3 C.x=5 D.x=-5 解析由基本不等式知等号成立的条件为9x一2=x一2，即x=5x=一1舍去)， 答案C 3.已知x)=x十1x-2x<0),则x() A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为一4 D.最小值为一4 解析x<0,x)=--x+1f(1-x)-2≤-2-2=-4， 当且仅当一x=1一x,即x=一1时等号成立. 答案C 4.若x2+y2=4,则y的最大值为 解析y≤x2十y22=2,当且仅当x=y时等号成立. 答案2 课堂案关键能力·互动探究 /是规律·悟方法·素养提开 趣型一对基本不等式的理解 例（多选）下面四个推导过程正确的有() A.若a,b为正实数，则ba十ab≥2bab=2 B.若a∈R,a≠0，则4a+a≥24a)·a=4 C.若x,yeR,y0,则xy+yx=--xy+-yx≤-2rcrc=-2 D.若a0,b0,则a2+b22≤ab ·独家授权侵权必究 亨学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 [解析]A中，，a,b为正实数，，ba,ab为正实数，符合基本不等式的条件，故A正 确 B中，，a∈R,a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴.4a十a≥24a)·a=4是错误的： C中，由xy<0,得xy,yx均为负数，但在推导过程中将整体alvs4 alco1(f(xyx)提出负 号后，一y,一yx均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确： D中，对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,即a2+b22≥ab,所以D不正确 [答案]AC [规律方法] 1.基本不等式a十b2≥ab(a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a,b都是正数， (2)“当且仅当”的含义：当a=b时，a+b2≥ab的等号成立，即a=b→a+b2=ab:仅 当a=b时，a+b2≥ab的等号成立，即a十b