第四章 4.5　增长速度的比较-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第二册人教版B(教师用书)

令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.5增长速度的比较 学业标准 素养目标 1,通过对线性增长、指数增长等不同函数增 1.通过平均变化率比较指数函数、一次函数、 长含义的认识，培养学生直观想象等核心素 对数函数的增长速度的差异.（难点） 养。 2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻 2.通过实际例子抽象出相应的函数模型，主 画现实问题的变化规律.（重点、难点） 要提升学生数学建模核心素养。 课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新如·至养初成 「教材梳理 导学用平均变化率比较函数的增长速度 间题计算fo)=6一8，)=2，万=1og10r在[3,4上的平均变化率，并比较它 们的大小 [提示]4n(x)4x=6,42(x)x=8, 4f3 (x)dx=log10olalvs4allcol(1+13))<log10010=12, 故43(x)x<4n(x)x<42(x)4x ©结论形成 1.平均变化率 (1)定义 函数y=x)在区间，x](<x2时)或[x,]:>2时)上的平均变化率为yx=f2) -f(x)x2-x1· (2)作用 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量 每增加1个单位，函数值将增加少x个单位.因此可用平均变化率来比较函数值变化的快 慢· 2.三种函数的增长速度的比较 (1)三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 y=a(a>1) y=logx(a>1) y=kx(k>0) 单调性 在(0，十∞)上单调递增 图象（随x的增大） 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升 增长速 y的增长速 y的增长速 y值逐渐增加 度（随 度越米越快 度越来越慢 独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 x的增大) 增长关系 存在一个w,当x>时，g之>l0g (2)指数增长与线性增长 将类似指数函数的增长称为指数增长（或指数级增长，是爆炸式增长） 将类似于一次函数的增长称为线性增长（或直线增长） [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)函数1og13x的衰减速度越来越慢.() (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.() (3)若a>1,n>0,对于任意xo∈R,一定有a>n0.()） (4)当a>1,0时，对Vx∈(0，+o),总有logx<a<a,() 解析(1)由函数y=log13x的图象可知其衰减速度越来越橙 (②)一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变 (3)如23<32 (4)如a=2,k=18,x=8 答案(1)√(2)√(3)×(4)× 2.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是() A.y=3 B.y=1000x C.y=logx D.y=x3 解析指数函数模型增长速度最快。 答案A 3.=2,2=x2,为=l0g2x,当2<x<4时，有() A.y>y2>y B.2>y>y3 C.y>y>y2 D.2>y3>n 解析在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间(2,4)内，从上到 下图象依次对应的函，数为=x2,=2,为=1ogx,故>h>少 答案B 4.函数f=2x-8,gx)=3,)=1ogx在区间[1,2]上的平均变化率分别为 解析4f=2,gx=32-32-1=6, 4hdx=10g22-log212-1=1. 答案261 ◆独家授权侵权必究。 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 /课堂案关键能力·互动探究 /里规律。格方法·素养提开 题型一求函数的平均变化率 例(Q)函数x)=x2+1x十4在区间，2]上的平均变化率为 (2)函数x)=nx在区间[1，e上的平均变化率为 [自主解答](1)△x=2-1=1,△y=2)-1)=4+12+4-(1+1+4)=52, ,x)在[1,2]上的平均变化率为52. (2)△y=e)-1)=1. ∴.yx=le-L, 即)在[l,c]上的平均变化率为1e一1 [答案](1)52(2)1e-1 ●方法技巧 平均变化率的求解步骤 (1)确定区间[，x2]c1<) (2)求出△x=一1 (3)求出Ay=2一y1 (4)求出平均变化率4yx=y2一ylx2-x1 [触类旁通] 1.y=2x+1在[1,2]内的平均变化率为() A.0 B.1 C.2 D.3 解析y=2×2+1-(2×1+1)1=2 答案C 题型二平均变化率的大小比较 例2已知函数f)=3,g)=2x,h)=logx,比较这三个函数在区间[a,a+1刂 (a>1)上的平均变化率的大小. [自主解答]因