6.3.2　二项式系数的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册人教A版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.32 二项式系数的性质 学业标准 素养目标 1,通过对二项式系数性质的学习，培养数学 1.能记住二项式系数的性质，并能解决相关 抽象核心素养 问题.（重点） 2.通过利用二项式系数的性质解决相关问 2.会用“赋值法”求展开式系数的和.（难点） 题，提升数学运算、逻辑推理等核心素养。 课前案必备知识·自主学习 /通虽材·理新知·泰养初成 [教材梳理] 导学二项式系数的性质 间题(a十byY的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (0+hy----------…11 (a+by 121 (atbp 1331 (a+b)' ----14641 (a+b于--------15101051 (a+by -1615201561 (1)从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ [提示]在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等：在相邻的两 行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。 (2)计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ [提示]2,4,8,16,32,64，，其系数和为2” (3)二项式系数的最大值有何规律？ [提示]n=2,4,6时，中间一项最大；n=3,5时，中间两项最大. ©结论形成 二项式系数的性质 性质 内容 Cmn=Cn一mn,即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式 对称性 系数相等 当二项式的幂指数n是偶数时，中间的一项 取得最大值 增减性与 n+1 最大值 2 当n为奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大 值 独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 项展开式中各二项式系数的和等于2”，即C0m+C1n+C2n+…+Cnn=2” 各二项式 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2”一1，即 系数的和 C1n+C3n+C5n+…=C2n+C4n+C6m+…=2n-1 [基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.() (2)二项展开式的二项式系数和为C1n+C2n+…+Cnn.() (③)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.() (4)令)=Crn(0≤r≤n,且r∈N),则r)的图象关于直线r=n2对称.() 答案(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.(Q十x)2+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是() A.n,n十1 B.n-1,n C.n+1,n+2 D.n+2,n+3 解析2十1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第， as4 al col(f2n+l-l2)+l)项，第alvs4acol0f2n+1+12)+l)项，即第n+1项与第n+ 2项，故选C 答案C 3.(多选题)若avs4 allcol化十1xn的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式 中二项式系数最大的项为( A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析，aws4 alcol十fx)m的展开式中第3项与第8项的系数相等，∴.C2n=C7n, ∴“=9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项。 答案CD 4.设(-3+2x4=a十ax+a2r2+ax3+a4,则ao+a+a2十a3的值为 解析令x=1,得ao十a+a2十十a4=1.① 又T+1=Ck4(-3)4-(2x), ∴.当k=4时，x4的系数a4=16.② 由①-②得ao十a1+a2+3=-15. 答案-15 课堂案关键能力·互动探究 /更规律·悟方法·素养提开 题型一与杨辉三角有关的问题 例如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2,3,3,6,4,10,,记这个数列的前n项和为S,求S9 15+10/1051 44 4.4 [解析]由杨辉三角可知，数列中的首项是C22,第2项是C12,第3项是C23,第4 项是C13,…,第17项是C210,第18项是C110,第19项是C211 故S1o=(C12+C22)+(C13+C23)+(C14+C24++(C110+C210+C211=(C12+C13 +C14+…+C110)+(C22+C23++C211)=(2+10)×92+C312=274. 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 对题目日要横看、竖看、隔行看、 连续看，多角度观察 规律> 通过观察找出数和数之间的规律 表达一将发现的规律用数学式子表达] <结论>一由数学表