6.2.4 第2课时　组合与组合数的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册人教A版(教师用书)

令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时 组合与组合数的应用 学业标准 素养目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际 在利用组合数与排列数公式解决组合及排列 问题.（重点） 组合的实际应用问题的过程中，提升数学建 2.能解决有限制条件的组合问题.（重点、难 模、数学运算等核心素养. 点) 课堂案关键能力·互动探究 /延规樟·相方法。素养提开 题型一有限条件的组合问题（一题多解） 例]某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选 派5名参加青年志愿者医疗队. ()某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？ [解析)(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318=816种. (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518=8568种 (3)分两美：甲、乙中只有一人参加，则有C12·C418种选法：甲、乙两人都参加，则有 C318种选法.故共有C12·C418+C318=6936种. (4)法一（直接法）男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女：2男3女：3 男2女：4男1女 所以共有C112·C48+C212·C38+C312·C28+C412·C18=14656种. 法二（间接法）由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C520一(C58 +C512)=14656种. 规律万因 有限制条件的组合问题分类及解题策略 (I)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的 可把所指元素去掉再取，分步计数： (②)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分 类要不重不漏：二是问接法，注意找准对立面，确保不重不漏 [触类旁通] 1.课外活动小组共13人，其中男生8人、女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现 从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ ·独家授权侵权必究· 享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (①)只有一名女生当选： (2)两名队长当选： (3)至少有一名队长当选： (4)至多有两名女生当选： 解析(1)一名女生，四名男生.故共有C15·C48=350种 (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311=165种. (③)至少有一名队长含有两美：只有一名队长和两名队长.故共有：C12·C411+C22· C311=825种，或采用排除法有C513-C511=825种。 (④至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、设有女生 故选法为：C25·C38+C15·C48+C58=966种 题型二几何中的组合问题（一题多解） 例松平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶 点，可构成多少个不同的三角形？ [解析]法一以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准， 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18=48个不同的三角形： 第二类：共线的4个点中有1个，点为三角形的顶点，共有C14C28=112个不同的三角形： 第三类：共线的4个点中没有，点为三角形的顶点，共有C38=56个不同的三角形， 由分美加法计数原理知，不同的三角形共有48十112+56=216个. 法二（间接法）从12个点中任意取3个点，有C312=220种取法，而在共线的4个点中 任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34=4种. 故这12个点构成的三角形有C312-C34=216个， 规律方法 解答几何组合问题的策路 (1)儿何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、 面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题惰境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强 (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视 为组合问题的限制条件即可. (③)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算 符合题意的组合数。 [触类旁通] 2.在四棱锥P4BCD中，顶点为P,从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点 P在同一平面上，不同的取法有() ◆独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2Xxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 A.40种 B.48种 C.56种 D.62种 解析满足要求的点的取法可分为3类： 第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法：第2类，在两