1.2.2　第2课时　三垂线定理及其逆定理-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时三垂线定理及其逆定理 /课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新如·桑养初成 「教材梳理] 导学三垂线定理及其逆定理 阿题如图所示，在正方体ABCD-A1B1CD,中. (1)BD⊥AC1吗？ (21是平面ABCD内任意直线，若1LAC1,则AC⊥1吗？ [提示](1)垂直：(2)垂直. ©结论形成 1.射影的概念 已知平面a以及一点A,过点A作a的垂线1，设1与a相交于点A',则A'就是点A在平面 a内的射影，（也称为投影），如图1，图形F上所有的点在平面a内的射影所成的集合F', 叫做图形在平面a内的射影. 图1 图2 2.三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直 ，则它也和这条斜线垂直， (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它 也和这条斜线在平面内的射影垂直· (3)如图2，AB是平面a的斜线，AO⊥a,BO是AB在a内的射影，1Ca,若1⊥BO,则 1⊥AB:反之，若1⊥AB,则I⊥BO 3.三垂线定理及其逆定理的理解 (1)三垂线定理叙述的是平面内直线与平面的斜线及斜线在平面内的射影三者之间的垂 直关系 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXK.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)这里平面内的直线与平面的斜线可以相交，也可以异面. (③)三垂线定理及其逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成 立，需要进一步证明 (④)三垂线定理及其逆定理在应用时要清楚以下问题： ①从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”，其逆定理的条件是“和斜线垂 直”， ②从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，逆定理正好 相反， [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)如果直线1与平面a外的一条直线r在平面a内的射影垂直，则1Lr.() (2)如果直线1与平面a外的一条直线1'垂直，则1与在平面a内的射影垂直.() (3)如果向量a和直线1在平面a内的射影垂直，则a⊥1() (4)如果非零向量a和平面a平行，且和直线1垂直，直线1不与平面a垂直，则a垂直于 1在平面a内的射影.() 答案1)×(2)×(3)×(4√ 2.两条异面直线在一个平面内的射影是() A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.两条平行直线或两条相交直线 D.以上都不正确 解析除两直线平行或相交外，还可能是一条直线及其外一点， 答案D 3.在平面α内和这个平面的斜线1垂直的直线() A.只有一条 B.可能一条也没有 C.可能有一条也可能有两条 D.有无数多条 答案D 4.菱形ABCD∥平面a,PA⊥a,则PC与BD的位置关系是 解析由三垂线定理，可知PC与BD垂直 答案垂直 ◆独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 /课堂案关键能力·互动探究 /见规伊。悟方法·者养提开 题型一三垂线定理的应用 例1如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD, PC LBD. B [自主解答]证明，PA⊥正方形ABCD所在平面， 则PC,PO在平面ABCD内的射影为AC,AO, 又AC⊥BD,AO⊥BD, 由三垂线定理得，PO⊥BD,PC⊥BD [规律方法] 三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理，关于三垂 线定理的应用，关键是找出平面的垂线，至于射影，则是由垂足、斜足来确定的：利用三垂 线定理证明两直线a⊥b的步骤：一垂，二射，三证.即第一找平面及平面垂线，第二找射影 线，这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线，第三证明射影线与直线a垂直，从而得出 a与b垂直. [触类旁通] 1.如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC,AC⊥BC,求证：PC⊥BC 证明因为PA⊥平面ABC,所以PC是平面ABC的斜线， 所以AC是PC在平面ABC上的射影，因为BCC平面ABC且AC⊥BC, 所以由三垂线定理得PC⊥BC 题型二三垂线定理的逆定理的应用 例船如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥CD,四边形ABCD 是平行四边形，且△PAD为等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形. 独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答]证明平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等边三角形， 故点P在平面ABCD内的射影为AD的中点O, 所以PO⊥平面ABCD,