1.2.2　第1课时　平面的法向量-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #1.22空间中的平面与空间向量 学业标准 素养目标 1能用向量语言描述平而，理解平面的法向 1通过利用向量语言描述平面及平面法向量， 量.（重点） 描述直线与平面、平面与平面的垂直与平行 2.能用向量语言表述直线与平面，平面与平 关系，培养学生直观想象等核心素养。 面的垂直与平行关系，（重点） 2.通过对三垂线定理及其逆定理的学习，培 3,掌握三垂线定理及其逆定理并能解决相关 养学生逻辑推理等核心素养。 问题.（重点、难点） 第1课时平面的法向量 /课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新知·系券初成 「教材梳理] 导学平面的法向量 间题过空间一点与已知平面a垂直的直线有多少条？过空间一点与己知直线1垂直的 平面有多少个？ [提示]有且只有1条，有且只有1个. ©结论形成 1.平面法向量的概念 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在直线 与平面a垂直，则称n为平面a的一个法向量，此时称n与平面a垂直，记作n⊥a 2.平面法向量的性质 (1)直线1，平面a,m是直线1的任意一个方向向量. 1⊥a÷m⊥a,m是平面a的法向量， (2)如果n是平面a的一个法向量，任意实数≠0，则n也是平面a的一个法向量，并 且平面α的任意两个法向量都平行. (3)n是平面a的法向量，A为平面a上的一个已知的点，则对于平面a上任意一点B,向量 二上，即·n=),从而可知平面的位置由n和A确定。 3,利用平面法向量判定直线与平面，平面与平面的位置关系 (1)D是直线1的一个方向向量，n是平而a的一个法向量.当n∥o时，1与a垂直： 当n⊥o时，1与a平行，或者1在a内_ (2)n1是平面%的法向量，2是平面a网2的法向量.当n1⊥n2时，必与@垂直；当n1 ∥m2时，4与平行，或者马与重合 ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)已知直线1垂直于平面a,向量a平行直线1，则a是平面a的法向量.() (2)若向量1,2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.() (③)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.() (4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平而垂直.() 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.若直线1∥a,且I的方向向量为(2，m,1),平面a的法向量为as4acol1,1 f12少，2，则m等于 解析，1∥a,平面a的法向量为lavs4 alcol1,f12,2, ∴.(2，m,1)aws4 alcol(1,12,2)=0, 即2+12m十2=0，.m=-8 答案一8 3.若直线的方向向量为41=as4alco12,43),1小，平面的法向量为2=(3,2，z): 则当直线与平面垂直时z 解析由已知得41∥42，∴.23=432=1z, ..z=32 答案32 4.已知平面a内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量为n =(-1,一1，一1)，且B与a不重合，则B与a的位置关系是 解析：=0,1，-1)，=(1,0，-1)， n=(-1,-1,-1)(0,1,-1) =-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0, n=(-1,-1,-1)(1,0,-1) =-1×1+0+(-1)×(-1)=0, n⊥，n⊥ ∴.n也为a的一个法向量， 又a与B不重合， .a∥B 答案a∥B 独家授权侵权必究· 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 /课堂案关键能力·互动探究 /见规伊。悟方法·者养提开 题型一求平面的法向量 例如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,试建立适当的坐标系，求： (I)平面ABCD的一个法向量： (2)平面4B的一个法向量： (3)平面SCD的一个法向量. [自主解答]以点A为原点，一，一，一的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,1,0),C1,1,0),D alvs4allcol(f12),0,0),S(0,0,1). (I):S4⊥平面ABCD,∴.=(O,0,1)是平面ABCD的一个法向量. (2),AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SAC平面ABS,AD⊥平面SAB, ∴.=ahws4alco1f12,0,0)是平面S4B的一个法向