1.1.2　空间向量基本定理-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #1.1.2空间向量基本定理 学业标准 秦养目标 1.理解空间共面向量定理，并能用定理判定空 1.通过对共面向量定理的学习，培养学生直观 间四点共面问题.（重点） 想象、数学抽象等核心素养 2.理解空间向量基本定理、基底、基向量的 2.通过对空间向量基本定理的学习，提升数 概念，并能用定理解决一些几何问题.（重点、 学抽象、逻辑推理等核心素养 难点) 丫课前案必备知识·自主学习 /通教材·师新知·素养初成 [教材梳理] 导学1共面向量定理 阿题在平面向量中，两个向量共线的充要条件是什么？ [提示]如果a≠0且la一存在唯一的实数入，使得b=入a ⊙结论形成 1.共面向量定理：如果两个向量a,b不共线-，则向量a,b.c共面的充要条件是， 存在唯一的实数对(X,y,使得c=-Xa十yb- 2.这个定理的必要性是由_平面向量基本定理_保证的.而充分性只要注意到当X与 yb_不共线_时.Xa.yb,xa十yb分别是平行四边形的_两条邻边_和一条对角线即 可. 导学2空间向量基本定理 间在空间向量中， (1)向量a与b有什么要求吗？ (2)任意一个向量c写成a与b的线性表达式唯一吗？ [提示](1)a与b不共线.(2)唯- ⊙结论形成 1,空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a,b,c不共面，那么对空间中的任意 一个向量P.存在_唯二-_的有序实数组_(X.yZ-,使得p=_-a十yb十Zc- 2.p用a.b.c表示的表达式p=xa十yb+zc唯一 3.特别地.当a.b.c不共面时，可知xa十yb十zc=0-X三y三Z三0- 4.基底、基向量 (1)表达式Xa+yb十zc一般称为向量a,b.c的线性组合或线性表达式，如果三个向量 a,b.c不共面.则它们的线性组合Xa+yb+zc能生成所有的空间向量 (2)空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组-基底-，记为{a.b.c.此 时.a.b.c都称为-基向量-：如果p=xa+yb+zc.则称xa十yb十zc为p在基底{a. b.c下的分解式 [基础自测 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 1.判断正误（正确的打“√”.错误的打“×"） (1)若{a.b,c为空间向量的一组基底.则-a.b,2c也可构成空间向量的一组基底. () (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示.() (3)若a,b是两个不共线的向量，且c=入a十b(入.H∈R且u≠0以.则a,b,c构成 空间向量的一组基底.() (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.（) 答案(1)W(2)×(3)×(4)× 2.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底.则一定有() A.a与b共线 B.a与b同向 C.a与b反向 D.a与b共面 解析由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量中可以做基底，B,C都是A的一 种情况，空间中任意两个向量都是共面的，故D错误 答案A 3.对于空间-点0和不共线的三点A.BC,有6=+2+3.则() A.O.A.B.C四点共面 B.P.A,B.C四点共面 C.O,P.B.C四点共面 D.O,P,AB.C五点共面 解折由6=+2+3.得-=2-)+3-.即=2+3 故 ,共面.又它们有公共点P.因此，P,AB,C四点共面. 答案B 4.如果空间向量a.b不共线，且a-yb=xa十3b.则X=- 解析a,b不共线.且a-yb=xa+3h, ∴(x-1)a+(y+3)b=0. x-1=0.y+3=0,解得x=1,y=-3.) 答案1一3 /课堂案关键能力·互动探究 /见规律·悟方法·套养鬓升 题型一空间向量的共面问题 例卧对干任意空间四边形ABCD.E,F分别是AB.CD的中点，请问与，一是 否共面？若共面.请给出证明：不共面，请说明理由 ·独家授权侵权必究* 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答] 一与一共面，证明如下： 在空间四边形ABCD中，E.F分别是AB.CD上的点，由向量加法法则. 得=++，9=++@. 又E,F分别是AB,CD的中点，故有=-=-@. 将②代入@中，再两式相加得2=→+一 所以=12+12.即与.共面 [规律方法] 证明空间向量共面或四点共面的方法 (I)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p=x 十yb.则向量p.a,b共面 (2)四点共面：若存在有序实数组(X.y,Z)使得对干空间任一点O和不共线的三点A,B. C,有=x+y+z,且x+y+z=1成立，则PAB