专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】有理数的加法 有理数加法法则： （1）同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，绝对值相等时何为0，绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 【知识点二】有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。如：3-5=3+(-5) 将减法转化成加法时，注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数。 【知识点三】有理数的乘法 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘，积仍为0。 ※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。 ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 有理数乘法运算步骤： ①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积。 乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：①零没有倒数 ②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 【知识点四】有理数的除法 有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 【知识点五】有理数的乘方 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=； ②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数； ④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1； ⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 【知识点六】有理数的混合运算法则 ①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 【知识点七】科学记数法与近似数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点说明：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点说明： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点一】有理数的加法 【例1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案； （2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 解：（1） （2） = = = = = = =0； = 【点拨】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022秋·山西太原·七年级太原市第十八中学校校考阶段练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式＝ ＝ ＝． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）先根据阅读部分的信息把运算式中的前两个分数的每一个拆成一个整数与一个分数的和，再利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可. （2）先根据阅读部分的信息把运算式中的前两个分数的每一个拆成一个整数与一个分数的和，再利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可. （1）解： ＝（28+）+[（﹣25）+（﹣）] ＝（28﹣25）+（﹣） ＝3+ ＝3； （2）解： ＝[（﹣2021）+（﹣）]+[（﹣2022）+（﹣）]+4044+（﹣） ＝（﹣2021﹣2022+4044）+（﹣﹣﹣） ＝1+（﹣1） ＝0． 【点拨】本题考查的是利用简便方法进行有理数的加减运算，掌握把一个分数拆成一个整数与一个分数的和是解本题的关键.