专题05 直线与平面的夹角4种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题05 直线与平面的夹角4种常见考法归类 1．直线和平面所成的角 2．最小角定理 3．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|． 4．用定义法求直线与平面夹角的关键 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影，充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 5．定义法求直线与平面夹角的基本思路 ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0°； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为； ③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小． 6．计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解， 方法一：设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 方法二：设为直线的方向向量，直线在平面α内的投影的方向向量为b， 则直线与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a，b>| 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用定义法解决直线与平面的夹角问题 考点二 用向量求直线与平面所成的角 考点三 用最小角定理求直线与平面所成的角 考点四 已知线面角求其他量 考点一 用定义法解决直线与平面的夹角问题 1．（2023春·广西玉林·高二校考阶段练习）在正三棱锥中，，则侧棱PA与底面ABC所成角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·云南大理·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（    ）      A． B． C． D． 3．（2023春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．    (1)求证：平面ADE； (2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值 4．（2023春·广东东莞·高二东莞一中校考期中）如图，四边形为正方形，平面，，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 5．（2023春·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2023春·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.    (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，求与平面所成角的大小. 7．（2023春·云南怒江·高二校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，平面，分别为的中点，.    (1)求证：∥平面； (2)设的中点为，连接，，求证：平面； (3)求与平面夹角的余弦值． 8．（2023春·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．    (1)证明：是直角三角形； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 考点二 用向量求直线与平面所成的角 9．（2023秋·高二课时练习）在正三棱柱中，，则（　　） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．与平面所成角的正弦值为 D．与侧面所成角的正弦值为 10．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（    ）    A． B． C． D． 11．（2023秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，等腰直角，，，、分别为、中点，将沿翻折成，得到四棱锥，为中点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 12．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.    (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 13．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）如图，四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，侧面是等边三角形．    (1