11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习 2023-2024学年人教版数学八年级上册

11.1.2 三角形的高与中线 学习目标： 　理解三角形的高、中线、角平分线的概念. 　 2.线段中点的定义： 3.角平分线的定义： 1.垂线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 相关知识回顾 同学们还记得 “过一点画已知直线的垂线” 的作法吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边上的高， 简称三角形的高. 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个锐角△ABC, A B C 请你画出BC边上的高. 和垂足的字母. 注意 标明垂直的记号 D A B C D 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 AD⊥BC，则AD是△ABC的BC边上的高 AD是△ABC的BC边上的高,则AD⊥BC,∠ADB=900 过三角形的某一顶点 A B D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 向其对边或对边所在的直线 用三角板画垂线， 所得的垂线段就是这条边上的高. C 三角形高的画法: 交对边或对边延长线于一点， 注意标明垂直的记号和垂足的字母. 试一试分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高. D D F E D E F 思考：（1）这三种三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?（2）三条高之间有怎样的位置关系？ （2）锐角三角形的三条高交于同一点， 且交点在三角形内部 （1）锐角三角形的三条高在三角形的内部 锐角三角形 （1）直角三角形的两条高与直角边重合， 另外一条高在内部 BC边上的高是AB，AB边上的高是BC， AC边上的高是BD （2）三条高的交点为直角顶点. 直角三角形 （1）钝角三角形的两条高在外部， 另外一条高在内部 BC边上的高是AF，AB边上的高是CD， AC边上的高是BE （2）三条高没有交点， 三条高所在直线交于三角形外一点. 钝角三角形 例 如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高，BD＝8，求PF＋PE的值． 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.如图，AD就是△ABC的中线. D C B A 几何表达形式：如图，AD是△ABC的（边BC上的）中线，或点D是边BC的中点，则BD=CD= BC. ∵AD是△ABC的中线； ∴BD=CD= 1 2 BC。 A B C D ● ● 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 E F O 三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心。 ● 如图所示，在△ABC中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高. 试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系?为什么? 解：∵AD 是△ABC的中线， ∴BD = CD. ∵AE 既是△ABD 的高，也是△ACD 的高， ∴△ABD 和△ACD 的面积相等. 　　　准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD 把∠ABC 分成∠1和∠2 两个角． ∠1和∠2 有什么关系？ A B C D B C A A B C D 1 2 三角形的角平分线