1.4.1.2空间中直线、平面的平行 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用 1.4.2 空间中直线、平面的平行 复习导入 利用待定系数法求法向量的步骤： 设向量 设平面法向量n=(x,y,z) 列方程组 选向量 在平面内选取两个不共线向量AB,AC 取x,y,z中一个为非零值(常取±1) 赋值 结论 得到平面的一个法向量 n·AB=0 n·AC=0 列出等式 复习导入 思考：空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？ 用直线的方向向量表示两条直线的平行 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． l1 l2 u1 u2 新知探究 2.线面平行的向量表示 用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的 法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n ⇔u·n＝0． α u n l 归纳：证明或判定直线和平面的位置关系有： (1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定； (2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定． 3.面面平行的向量表示 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． α β n1 n2 归纳：1．直线的方向向量不是唯一的，解题时，选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行． 2．用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 题型一　证明线线平行 经典例题 例1 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. C D A1 B1 C1 D1 A B S R M N ∴MN＝RS，∴MN∥RS，又∵R∉MN，∴MN∥RS. 法一：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c， C D A1 B1 C1 D1 A B 法二：如图所示，以点A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. ∴MN＝RS.∴MN∥RS.∵M∉RS，∴MN∥RS. C D A1 B1 C1 D1 A B x y z S R N M 总结 题型二 　证明线面、面面平行 例 2 例 2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由. 解：以A为原点分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， x y z ∴y(－1)－2(z－1)＝0， 设E(0，y，z),则PE＝(0，y，z－1),PD＝(0,2，－1)， ∵PE∥PD， ∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB， ∴CE⊥AD，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0. ∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 练习1 总结 向量法证明线面平行的思路： 例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别 是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1), F(0,0,1),B1(2,2,2), 总结 证明面面平行的方法： （1）转化为相应的线线平行或线面平行； （2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行. 线线平行 线面平行 面面平行 使得 使得 课堂小结 谢 谢 观 赏！ 方向向量 直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 的非零向量，一条直线的 方向向量有 个． 2.平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的 a，则向量a叫做平面α的法向量． 平行或共线 无数 证明两直线平行的方法 法一：平行直线的传递性 法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x