1.4.2 充要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2充要条件 《必修》（第一册）P0~P22 复习引入 p 9 →9 p 9 充分 9 p 必要 p q 9 0 p q 充分 q p 必要 探究：充要条件 思考：下列“若P,则q”形式的命题中，哪些命题 与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别 相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相 等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实数根，则ac<0; (4)若AUB是空集，则A与B均是空集 提示：(1)原命题：若两个三角形的两角和其中一 角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；真 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两 角和其中一角所对的边分别相等.真 (2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形 的周长相等；真 逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角 形全等.假 (3)原命题：若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不相等的实数根，则ac<0,假 逆命题：若ac<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有 两个不相等的实数根.真 (4)原命题：若AUB是空集，则A与B均是空集；真 逆命题：若A与B均是空集，则AUB是空集.真 命题(1)、(4)和它们的逆命题都是真命题. 归纳总结 p 9 p p→q g→卫 p→q p q 9 p 9 p 9 p → p q 说明：(1)符号 “→”称为等价符号，与“当且 仅当”含义相同. (2)p与q互为充要条件，也可以说成“p与q等价” 上面思考中，命题(1)(4)中，p与q互为充要条件 例题 课本21页 例3：下列各题中，哪些是q的充要条件？ (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂 直且平分： (2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0,q:x>0y>0; (4)p:=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根， q:a+b+c=0(a≠0). 解：(1)因为正方形的对角线一定互相垂直且平分， 所以p→9；又因为对角线互相垂直平分的四边形不 一定是正方形，所以9户卫因此p不是的充要条件. 说明：这里p→9且9今P因此可以说p是q的充分 不必要条件. 课本21页 例3：下列各题中，哪些p是g的充要条件？ (2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； (3) p:y>0,q:x>0,y>0; (4)p:=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根， q:a+b+c=0(a≠0). 解：(2)因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理， “若q,则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为 真命题，即p台q.因此p是q的充要条件. (3)因为xy>0时，心0y>0不一定成立，所以pAq, 又因为x>0,>0时，y>0一定成立，所以9→卫因此p 不是q的充要条件. 说明：这里p今9，且q→p因此可以说p是q的必要 不充分条件. 课本21页 例3：下列各题中，哪些p是g的充要条件？ (4)p:=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根， q:a+b+c=0(a≠0). 解：因为p:=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根， 所以a12+b1+c=0,即a+b+c=所以p→9. 由a+b+c=可得a12+b1+c以=1是一元二次方程 所以ax2+bx是的一个因此p是的充要条件.p台9. 思考：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行 四边形”的充要条件吗？ 提示：“四边形的两组对角分别相等”，“四边形的 两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相 等”，“四边形的对角线互相平分”，“四边形的两组 对边分别平行”都是“四边形是平行四边形”的充 要条件.