2.3.1 等腰（边）三角形的性质（课件PPT）-【学海风暴】2023-2024学年八年级上册初二数学(湘教版)

第2章 三角形 八年级数学湘教版·上册 2.3.1等腰（边）三角形的性质 授课人：XXXX 1 学习目标 1.等腰三角形的性质及其应用，等边三角形的性质；(重点) 2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明和计算．(难点) 腰 新课导入 我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形.如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三解形. 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 腰 底角 底角 C B A 顶角 底边 新知探究 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ A B C AB=AC 等腰三角形 新知探究 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 新知探究 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 等腰三角形是轴对称图形. 问题：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 新知探究 新知探究 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”). 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 新知探究 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE. 证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F， 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF， ∴ BF-DF=CF-EF， DF=EF， 即 BD=CE. F 新知探究 在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． （2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例2 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 解析：（1）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC，∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A. ∠C= ∠BDC=2 ∠A. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °, ∴x+2x+2x=180 °. 新知探究 A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得 x=36 ° ， 在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 新知探究 新知探究 利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角、直角或者钝角. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （×） （×） （×） （×） （√） （√） 判断题 新知探究 类比探究 A B C A B C 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C=60° 内角和为180° 新知探究 新知探究 如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？ 因为△ABC 是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC, 从而∠C ＝∠A＝∠B． 由三角形内角和定理，得 ∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°． 新知探究 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. A B C A B C 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 顶角的平分线、底边上的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 新知探究 新知探究 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 新知探究 例3