14.3.2.1 利用平方差公式分解因式（课件PPT）-【学海风暴】2023-2024学年八年级上册初二数学(人教版)

第十四章 整式的乘法与因式分解 八年级数学人教版·上册 14.3.2.1 利用平方差公式分解因式 授课人：XXXX 1 教学目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点） 2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点） 新课导入 情景导入 a米 b米 b米 a米 (a-b) 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a2- b2=(a+b)(a-b) 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 一、用平方差公式进行因式分解 新知探究 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 新知探究 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x 3 3 (2)原式=[(x+p)+(x+q) ] [(x+p)-(x+q) ] a b 新知探究 新知探究 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式还是多项式， 只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差 公式因式分解. 新知探究 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练： ＝(4m＋2n)(2m＋4n) 解：(1)原式＝(a ＋ b ＋ 2a)(a＋b － 2a) ＝(3a＋b) (b－a). (2)原式＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝4(2m＋n)(m＋2n). 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解. 新知探究 ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 20202－20192 = (2mn)2 - ( 3xy)2 = (x+z)2 - (y+p)2 = 考考你： (2mn+3xy)(2mn - 3xy) (2020+2019)(2020 - 2019) (x+z+y+p) (x+z - y - p) 新知探究 例2 分解因式： 解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 新知探究 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因 式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不 能再分解因式为止． 新知探究 分解因式： (1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b. 针对训练： ＝(a＋2b)(a－2b－1). ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1)原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 新知探究 例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x-y，x，y的值． ∴x－y＝－2②. 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 新知探究 方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中， 通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 新知探究 例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400. (2)原式＝4×(53.52－46.52) = 4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 新知探究 例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-