15.4.1 角平分线的尺规作图与性质（课件PPT）-【学海风暴】2023-2024学年八年级上册初二数学(沪科版)

第15章 轴对称图形与 等腰三角形 八年级数学沪科版·上册 15.4.1角平分线的尺规作图与性质 授课人：XXXX 1 新课引入 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 可以 新知探究 提炼图形 新知探究 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 新知探究 挑战第二关 探索新知 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该 仪器的功能吗？ A B O 尺规作角平分线 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明 作图方法与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 作法： 1.以____为圆心，______长为半径画圆弧，与角的两边分别交于M、N两点； 2.分别以点 _____ 为圆心， __________的长为半径画弧，两条圆弧交于 ∠AOB内一点____； 3.作射线_____； _____就是所求作的∠AOB的平分线. 点O 任意 M、N 大于 P OP OP 尺规作图 A B N M P Ｏ 新知探究 新知探究 想一想：为什么OP是角平分线呢？ B A N M P Ｏ 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB. 证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP， ∴ △OMP≌ △ONP（SSS）， ∴∠MOP=∠NOP, 即OP平分∠AOB. 新知探究 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线. 问题引导 过一点作已知直线的垂线 新知探究 ①在直线l 上点P 的两旁分别截 取线段PA， PB，使PA= PB； (1)当点P在直线l上. ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C； ③过点C， P作直线CP， 则直线CP为所求作的直线. · P A B C l 这一步的目的是什么？ 新知探究 (2) 当点P在直线l外. ①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径 画弧， 交直线l于点A，B； ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画 弧， 两弧相交于点C； ③过点C,P作直线CP，则直线CP为所 求作的直线. · P A B C l 第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于P到l的距离？ 新知探究 例1 利用直尺和圆规作一个等于45°的角. 作法: 1.作直线AB； 2.过点A作直线AB的垂线AC； 3.作∠CAB的平分线AD. ∠DAB就是所要求作的角. 新知探究 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将 三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 新知探究 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)， ∴PD=PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 新知探究 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂