15.2 线段的垂直平分线（课件PPT）-【学海风暴】2023-2024学年八年级上册初二数学(沪科版)

第15章 轴对称图形与 等腰三角形 八年级数学沪科版·上册 15.2线段的垂直平分线 授课人：XXXX 1 新课引入 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等? A B C 新知探究 问题：怎样作出线段的垂直平分线？ 做一做： 在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线. 想一想： 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？ A B A(B) A B l O l C O 新知探究 A B C D 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 线段垂直平分线的尺规作图 例1 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB. M N A B l 新知探究 新知探究 解：(1)如图所示： (2)在△AMP和△PNB中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB. M N A B l P 新知探究 线段垂直平分线的性质 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 新知探究 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 新知探究 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 如果点P与点O重合，那么直接可得PA=PB. 新知探究 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D. 若△DBC的周长为35cm，求BC的长. 解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， 又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， 故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm). 【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 新知探究 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 新知探究 例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． (2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可． 新知探究 证明：(1)∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠ECF. ∵E是CD的中点，∴DE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE， ∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF. ∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF. ∵AD＝CF， ∴AB＝BC＋AD. 新知探究 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 逆 命 题 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 新知探究 已知：PA=PB， 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明