福建省莆田第八中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试卷

莆田八中2023—2024学年上学期高三数学第一次月考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则等于（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（    ） A． B．4 C． D． 6．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①平面 ②平面 ③ ④平面平面 其中正确判断的序号是（    ） A．① ③ B．② ③ C．① ② ④ D．② ③ ④ 7．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O­ABC的体积为 ，则球O的表面积为(　　) A． B．16π C． D．32π 8．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．在空间中，已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（    ） A．若，且，，，则 B．若，且，，则 C．若a与b相交，且，，则与相交 D．若，且，，则 10．设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ） A．A1C⊥平面 B．存在点P，使得AC1∥平面 C．存在点P，使得点A1到平面的距离为 D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 12．设，，则下列结论正确的是（    ） A．不等式恒成立 B．函数的最小值为2 C．函数的最大值 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，，则的最小值为 ． 14．三棱锥，则点P到底面的距离为 . 15．有一块多边形的菜地，其水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是直角梯形（如图所示），，．，则这块菜地的面积为 ． 16．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10分）设集合，或. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．（12分）已知关于x的不等式的解集为． （1）求a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 19．（12分）（1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．（12分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨（且x是600的约数），运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元. （1）写出一年的总运费与总存储费用之和（万元）与的函数关系式； （2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨. 21．（12分）如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，，求二面角的余弦值． 22．（12分）如图，在四面体中，点分别是棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：四边形为矩形； （Ⅲ）是否存在点，到四面体六条棱的中点 的距离相等？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 莆田八中2023—2024学年上学期高三数学第一次月考试卷 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．B 9．AC 10．BD 11．ACD 12．AC 13． 14． 15． 16． 17．（1）若，则，由或，得， 则； （2）因为，当时，，解得，符合题意; 当时，有①或② ， 解①得，解②得， 因为，所以实数的取值范围. 18． 19．（1）因为命题，使得是真命题，那么 ， 即 ，那么实数的取值范围为 ；