专题1-1 建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法 1空间向量的直角坐标系 (1) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. (2) 空间向量的直角坐标运算律 ① 若，， 则，， ， ， ， ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则. ④ 夹角公式 为钝角. ⑤ 两点间的距离公式 若 则 或 2 建立直角坐标系的方法 (1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 (2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系 (3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 3 确定空间直角坐标系中点坐标的方法 求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 待定系数法：设点，利用已知条件求出. (6) 函数法：常用于设动点坐标； 动点在定直线上，把投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面，得到投影直线方程，从而达到动点投影中的关系. 以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.   【题型一】建立直角坐标系的方法 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 【典题1】 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 利用线面垂直关系构建直角坐标系 【典题2】 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．求二面角的平面角的正切值． 利用面面垂直关系构建直角坐标系 【典题3】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．求面与面所成的二面角的余弦值． 巩固练习 1(★) 如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且，如何建立空间直角坐标系呢？ 2 (★★) 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，如何建立空间直角坐标系呢？ 3 (★★) 如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？ 【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法 情况1 求点的坐标 【典题1】 在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. ； ； ； 若为上点，且写出坐标； 【典题2】 如图，矩形中，，为的中点，以为折痕把四边形折起，使达到的位置，且，，分别为，，的中点．建系求点的坐标. 情况2 设点坐标 【典题3】 长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中 (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由． 巩固练习 1 (★★) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点，若以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列正确的是 . 1 点的坐标为；②；③. 2 (★★) 已知正方体的棱长为，分别为棱的中点，如图所示建立空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量的坐标． 3 (★★) 如图，一张平行四边形的硬纸中，.沿它的对角线折起， 使点到达平面外点的位置.若，建系求点的坐标. 4(★★) 如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，.建系求点的坐标. 5(★★) 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，是的中点，在上，若于点，试求点的坐标. 6(★★) 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点在侧棱上，．若以，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求的坐标． 7(★★) 如图所示，平面，底面边长为的正方形，，是上一点，且， (1)建立适当的坐标系并求点坐标；(2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！zxxk.com 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法 1空间向量的直角坐标系 (1) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间