期中专题05 椭圆、双曲线、抛物线大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考河北专用）

期中专题05 椭圆、双曲线、抛物线大题综合 备考秘籍 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 3. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 真题训练 一、解答题 1．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 2．（2021秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求. 3．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考期中）已知，以为圆心的圆，半径为，点是一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点．在下列条件下，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． (1)时，点在圆上运动； (2)时，点在圆上运动． 4．（2022秋·河北沧州·高二任丘市第一中学校考期中）已知直线与双曲线． (1)若，求l与C相交所得的弦长； (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的实轴长的取值范围． 5．（2021秋·河北唐山·高二滦南县第一中学校考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求 6．（2021秋·河北保定·高二河北省博野中学校考期中）（1）求焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程； （2）设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，求此双曲线的方程． 7．（2022秋·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为，求此双曲线的标准方程； （2）求以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程． 8．（2021秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期中）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 9．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值. 10．（2022秋·河北保定·高二校考期中）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值. 11．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值. 12．（2022秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为． (1)求C的标准方程； (2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 13．（2022秋·河北邢台·高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于 ､两点，求的面积. 14．（2022秋·河北邢台·高二统考期中）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6. (1)求椭圆的方程； (2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标. 15．（2021秋·河北·高二校联考期中）已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点