专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝. 二、解题秘籍 (一) 确定函数零点个数 1.研究函数零点的技巧 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 2. 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况. 4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况. 【例1】（2023届广东省罗定中学高三上学期调研）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数零点的个数； 【解析】（1）由题意知：定义域为，， 令，解得：，，又， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）取，则当时，，，， ； ，由（1）知：在上单调递增， 当时，，即在上无零点； 下面讨论的情况： ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ， 又，， 在和上各存在一个零点，即有两个不同零点； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，又， 有唯一零点； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， ，无零点； 综上所述：当时，有两个不同零点；当时，有且仅有一个零点；当时，无零点. (二) 根据函数零点个数确定参数范围 根据函数零点个数确定参数范围的两种方法 1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数范围； 2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定. 【例2】（2023届四川省成都市高三全真模拟）已知函数，． (1)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值（e是自然对数的底数）； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，定义域为，故， 则，即， 即， 令，则， 又因为在上单调递增，且当时，， 所以，即，． （2）因为函数有且仅有两个零点， 所以有且仅有两个大于1的实数根， 又，则， 即， 令，则， 由，得，当时，，当时，，    所以在上单调递减且， 在上单调递增且时， 又，，则，则， 即得， 所以，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，，    当时，，且无限趋近于0， 所以，故实数a的取值范围为． (三)零点存在性赋值理论及应用 1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点． 2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行 三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极