课时作业（十八）证明不等式-【学易优】2024年高考数学一轮总复习课时分层突破（人教A版）

课时作业 课时作业（十八） 证明不等式 [A基础本科院校题] :3.已知函数fx)=lnx+ax2+(2a+1).x (1)讨论f(x)的单调性： 1.已知函数)-中+兰，曲线y一)在点 （2)当a<0时，证明/)≤- -2: x (1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0. (3)若不等式f(x)>0恰有两个整数解，求实数a (1)求a,b的值： 的取值范围. (2)证明：当x>0,且x≠1时，f(x)>1n x-1 2.设函数f(x)=ax2-(x十1)lnx,曲线y=f(x) 在点(1，f(1)处切线的斜率为0. (1)求a的值： （2)求证：当0<r≤2时，f)>2 ·323· 高考总复习·数学 [B一流学科院校题] [C清华北大院校题] 4.已知函数f(x)=1+ln+(x>0). 5.已知函数f(x)=ln.x-az2十(2-a)x,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性： (1)判断函数f(x)在(0，十o∞)上的单调性： (2若f)>,车框成立.求整数长的最大值： (2)当a<- 时，若对于任意∈1，十o) (x1<x2),都存在xo∈(x1,x2),使得(x0) (3)求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+t(n+1)] >e2m-3. =fx2)-f(x1) x2一x1 证明：十< 2 ·324·参考答案与详解 2x+b,所以f(.x)=x2十ar+2, 由题意知 所以高数fx)在(0.)(1，+m)上 ，且进点(1,1)，故 0=音×1+受×+2x1+b-告。 单满递增，在（受1）上单满递减。 f1)=1, 6=1 /1D-12+w+2-0, 于是f(x)在x=1处取得板小值，且板 部得公3 小值为D=-1在r=之处取得 得：=1,6=1. 故=+2+1. 板大位，且机大位为f(号)-1n司 >0), 经检验f()在x=1时取得极大值，故 特合是意，得以)=言-号+ 1 所以)-告 2x+1. 所以函数f()的极大值为 (2)由（1)知广(x)=x-3x+2,令 1n令-子极小值为-1 f(r)=x一3r+2=0,解得x=1或 考虑孟数x=2nr--lr>0. (2)存在. =》， 所以x∈[1,2)时，广(x)<0,f(x单 得广(r)=1+2r+2a= 则(x)=2-2-r-业 调道减：x∈(2,3]时，了(r)>0,fr) (x-1) 单调递增， 22+2ar+1(r>0), 则/--号+2+1-号 所以当x≠1时，h'(x)<0.而h(1)=0, 6 令f(x)=0,即2x2+2ar+1=0.令 f2)=言×2-是×g+2×2+1 g(x)=2x+2ax十1，则函数g(x)的 故多E0D时，>0，可得 围象的对称轴为直线=一兰 h(r)>0: 因为a十2≥0，所以a≥-2. 当r∈(1，十o)时，h(x)<0,可得 f3)-号×8-×+28+1 ①当一号+2.即>-青时， r)>0. 5 2,所以fr)一3f)m- g(a+2)=2(a+2)+2a(a+2)+1= 从而当>0，且时-与 4a+124+9>0恒成立， 3=号又因 所以f(x)在(a十2，十oo)上无极值. >0.牌f>血三 r-1 进③：(1)由题露如 1f(3)=2 @当-号>a+2,中a<-音时：则21解：f=2a一nx一1-子 为f(x)=x2十ax+2,所以 -25a<-青（号）=2×号 由题意，可得了(1)=2a-2=0,所以a 8)=号×3×号×8+2X3+b-号 5 (2)证明：由(1)得f(x)=x一(x十1) /(3)=3+3a+2=2, 2(-受)+1=-号+山 In. 解得8 当-号+1≥0时，有-2≤a<2,即 要证者0<x≤2时，f（x)> 2,只需 所以)=-+2x1 证当0<r2时， -2≤a<-青时fx)>0极咸立 (2)由(1)知.(x)=x2-3x+2,令 --nx>,即r-ln> 所以f(x)在（仙十2.十o∞）上无机值 了(x)=0,解得x=1成r=2,所以 x∈1,2)时，(x)<0,f(x)单调递 当-号+1<0时，有a<-厄或a> +2 减x∈(2,3]时，f(x)>0,f(x)单词 递增。 区.又-2≤a<-青，所以-2≤a< 又因f1)= 6/2)= 令g(x)=1-上=0，得x=1,易知 3 -2.周为g(a+2)=4a+12a+92 -g 0g(-号）=-g g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单 十1<0，当r+ 调递增， 所以=3=各， 十o∞时，g(r)>0, 故当0<r≤2时，g(x)n=g(1)=1. 周为h'(r)=1一n2,当0<r≤2时， )=2=喜 所以存在上∈(+2，-号人使得 h(r)>0. C清华北大院校题 fx)=0,存在西∈(-受+