1.3 二次函数的性质（讲+练，九大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

1.3 二次函数的性质 学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2. 二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; (2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 即学即练 （2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 知识点二 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 即学即练 （2023秋·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③﹣1≤a≤；④3≤n≤4中，其中正确的结论有（    ）　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 即学即练 （2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤ 题型一 抛物线与x轴交点情况的判断 例1 （2023·浙江温州·统考三模）已知二次函数上的两点满足，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 举一反三1 （2023·浙江台州·统考二模）已知抛物线过点，且，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 举一反三2 （2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 利用抛物线与x轴的交点求字母的取值范围 例2 （2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 举一反三1 （2023秋·浙江