专题23.1 旋转的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题23.1 旋转的几何综合 【典例1】已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接． （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值; （3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出的值； （3）在旋转过程中，等腰有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算． 【解题过程】 解：（1）在中，，， 由勾股定理得：． ， ． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）设平移中的三角形为△，如答图2所示： 由对称点性质可知，． 由平移性质可知，，，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ，， ， 又易知， △为等腰三角形， ， ，即． （3）存在．理由如下： 在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形： ①如答图所示，点落在延长线上，且，易知， ，， ， ， ． 在△中，由勾股定理得：． ； ②如答图所示，点落在上，且，易知， ， ， ，则此时点落在边上． ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ； ③如答图所示，点落在上，且，易知． ，， ． ， ． ， ， ， ， ． 在△中，由勾股定理得：， ； ④如答图所示，点落在上，且，易知． ，，， ， ， ． 综上所述，存在4组符合条件的点、点，使为等腰三角形； 的长度分别为或或或． 1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）（1）如图1，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转60°得到线段，连接． ①求证：； ②连接并延长交直线于点D．若，，求的长； （2）如图2，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，，求长． 2．（2022春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）四边形BE'FE的形状是______； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 3．（2022秋·全国·九年级期中）为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由； （3）连接BN，在绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值． 4．（2022·河南郑州·校联考一模）（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 　　； （2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由； （3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为时，直接写出线段BN的长． 5．（2023春·浙江·八年级专题练习）小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． 在中，，M是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）如图1，若点M是线段上的任意一点，判断和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点E是延长线上的点，若点M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （3）如图3，在中，，，，点P是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小． 6．（2023春·四川成都·八年级统考期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          （1）如图1，当时，求BP的长； （2）如