第12讲 二次函数中的交点个数问题专题训练-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第12讲 二次函数中交点个数问题专题训练 1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤ C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3． 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1． ∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1． 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1）， ∴+2﹣n＝1，解得：n＝． ∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤， 故选：B． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围； （3）抛物线与y轴交于点B，直线AB上有一动点P，将点P向下平移1.5个单位长度，得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，请直接写出点P的横坐标xp的取值范围． 【分析】（1）由已知可得﹣＝﹣1①，16a﹣4b﹣4＝0②，解出a，b的值即得抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4； （2）由y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，知当x＝﹣1时，y最小＝﹣，当x＝3时，y取，故当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣≤y＜； （3）求出直线AB解析式为y＝﹣x﹣4，设P（m，﹣m﹣4），则Q（m，﹣m﹣5.5），当Q在抛物线y＝x2+x﹣4上时，﹣m﹣5.5＝m2+m﹣4，得m＝﹣1或m＝﹣3，再结合图象可得﹣1≤xp≤0或﹣4≤xp≤﹣3． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1①， 将点A（﹣4，0）代入y＝ax2+bx﹣4中，得16a﹣4b﹣4＝0②， 由①，②解得a＝，b＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4； （2）∵y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣）， ∴当x＝﹣1时，y最小＝﹣， ∵（﹣1）﹣（﹣2）＜3﹣（﹣1）， 当x＝3时，y取最大值，最大值为y＝×（3+1）2﹣＝， ∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣≤y＜； （3）如图： 在y＝x2+x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4， ∴B（0，﹣4）， 由A（﹣4，0），B（0，﹣4）得直线AB解析式为y＝﹣x﹣4， 设P（m，﹣m﹣4），则Q（m，﹣m﹣5.5）， 当Q在抛物线y＝x2+x﹣4上时， ﹣m﹣5.5＝m2+m﹣4， 解得m＝﹣1或m＝﹣3， 由图可知，当﹣1≤m≤0或﹣4≤m≤﹣3时，线段PQ与抛物线只有一个交点， ∴﹣1≤xp≤0或﹣4≤xp≤﹣3． 3．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点P（t，0）是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x＝t左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作F1，函数l的图象位于直线x＝t上以及右侧的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F． 例如：如图，函数l的解析式为y＝x+1，当t＝1时，它的对称折函数w的解析式为y＝x﹣1（x＜1）． （1）函数l的解析式为y＝2x﹣1，当t＝﹣2时，它的对称折函数w的解析式为　y＝2x+1（x＜﹣2）　； （2）函数l的解析式为y＝x2﹣x﹣1，当﹣4≤x≤2且t＝0时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值； （3）函数l的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）． ①若a＝1，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点，求t的取值范围； ②当﹣5≤x≤3，且t＝2时，图象F上有4个点到x轴的距离等于2，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）先由函数l与l'的图象关于y轴对称，写出函数l'的解析式，再根据对称折函数的定义写出对称折