第11讲 二次函数中矩形、正方形的存在性问题专题探究-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第11讲 二次函数中矩形、正方形的存在性问题专题探究 【知识总结】 · 方法策略： 抓矩形两大性质【内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题】 正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题 【类题训练】 1．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标； （2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标； （3）如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，即可求解； （2）由△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB，即可求解； （3）根据矩形的性质，由中点坐标公式和对角线BD＝MN列出方程组，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， 令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3， 即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）； （2）过点作PH∥y轴交BC于点H， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， 则△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB＝×（﹣x2﹣2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x）， ∵﹣＜0，则△BCP面积有最大值， 此时，点P（，）； （3）存在，理由： 设点M的坐标为：（0，m）或（n，0），点N（s，t）， 由点B、D的坐标得，BD2＝20， 由中点坐标公式和对角线BD＝MN得： 或， 解得：或， 即点N（4，1）或（4，3）或（3，4）． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）． （2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式； （3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式． （2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可； （3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3 ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0）， 如图1，作DF⊥x轴于F， ∴DF∥OC， ∴＝， ∵CD＝4AC， ∴＝＝4， ∵OA＝1， ∴OF＝4， ∴D点的横坐标为4， 代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a， ∴D（4，5a）， 把A、D坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线l的函数表达式为y＝ax+a． （2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H， 设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）． ∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a， ∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a． ∴△ADE的面积的最大值为a， ∴a＝， 解得：a＝． ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣． （3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）． ∵y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴抛物线的对称轴为x＝1， 设P（1，m）， ①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ， 则Q（﹣4，21a）， m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ为矩形， ∴∠ADP＝90°， ∴AD2+PD2＝AP2， ∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2， 即a2＝， ∵a＞0， ∴a＝， ∴P1（1，）， ②若点Q在对称轴右侧时，则A