第10讲 二次函数中菱形的存在性问题专题探究-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第10讲 二次函数中菱形的存在性问题专题探究 【知识总结】 · 方法策略： 抓菱形两大性质 邻边相等→转化为等腰△存在性问题 对角线垂直→转化为直角△存在性问题，或“k型相似”问题 【类题训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线L′的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设P（1，t），Q（x，y），根据题意分两种情况讨论：当BP为菱形的对角线时，BC＝CP，P（1，0）或（1，6）；当BQ为菱形的对角线时，BC＝BP，P（1，）或（1，﹣）． 【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线L的函数表达式为y＝x2+4x+3； （2）存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形，理由如下： ∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′， ∴抛物线L′的解析式为y＝（x+2﹣3）2﹣1， 即抛物线L′的解析式为y＝x2﹣2x，对称轴为直线x＝1， ∵抛物线L：y＝ax2+bx+3与y轴相交于点C， ∴C（0，3）， ∴BC＝＝， 设P（1，t），Q（x，y）， 当BP为菱形的对角线时，BC＝CP， ∴， 解得或， ∴P（1，0）或（1，6）； 当BQ为菱形的对角线时，BC＝BP， ∴， 解得或， ∴P（1，）或（1，﹣）； 综上所述：P点坐标为（1，0）或（1，6）或（1，）或（1，﹣）． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值． 【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先设出点P的坐标，再求出P'的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点P的坐标； （3）先设出点P的坐标，然后作PQ平行y轴交BC与点Q，将三角形PCQ和三角形PBQ的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值． 【解答】解：（1）把点B，点C的坐标代入解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数得表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）存在点P，使四边形POP'C为菱形， 设P（x，﹣x2+2x+3），PP'交CO于点E， 若四边形POP'C是菱形，则PC＝PO， 连接PP'，则PE⊥CO，OE＝CE＝， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为（，）； （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x，﹣x2+2x+3）， 易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x，﹣x+3）， ∴S△CPB＝S△BPQ+S△CPQ＝QP•BO＝， 当x＝时，△CPB的面积最大， 此时，点P的坐标为（，），△CPB的面积的最大值为． 3．如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD． （1）求S△COD； （2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． ​ 【分析】（1）已知函数解析式，分别令x＝0、y＝0，解方程即可求得B、C、D的坐标，再运用三角形面积公式即可求得答案． （2）利用待定系数法可得直线CD的解析式为y＝x﹣4，设P（t，t2﹣3t﹣4），可表示出PE，利用等腰直角三角形性质可将PE表示PQ的长，进而用点P坐标将PE+PQ表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得PE+PQ的最大值． （3）菱形的存在性问题先转化为求以AC为边的等腰三角