第09讲 二次函数中平行四边形的存在性问题专题探究-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第9讲 二次函数中平行四边形的存在性问题专题探究 【知识总结】 · 平行四边形存在性 1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形 ②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分 ③中点公式： 2.方法策略： （1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时： ①设第4个点的坐标 ②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论 ③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解 例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形； （2） 有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。 如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。 【类题训练】 1．综合与实践 如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标； （3）点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标． 【分析】（1）求出当y＝0时x的值即可求出A、B的坐标，求出当x＝0时y的值即可求出点C的坐标； （2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD．根据S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC推出，据此求解即可； （3）分图3﹣1，3﹣2，3﹣3，3﹣4四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可． 【解答】解：（1）把y＝0代入y＝2x2﹣4x﹣6中， 得2x2﹣4x﹣6＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0）， 把x＝0代入y＝2x2﹣4x﹣6中，得y＝﹣6， ∴点C的坐标是（0，﹣6）； （2）设点D的坐标是（m，2m2﹣4m﹣6）， 如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD， ∴DG＝m，DH＝﹣2m2+4m+6， ∵点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣6）， ∴OB＝3，OC＝6， ∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC， ∴， 化简，得， ∵﹣3＜0， ∴当时，△BCD的面积最大为， ∴， ∴点D的坐标是； （3）如图3﹣1所示，当四边形CDBE是平行四边形时， 则CD∥BE，CD＝BE， ∴点D的纵坐标为﹣6， 令y＝2x2﹣4x﹣6＝﹣6， 解得：x＝2或x＝0（舍去）， ∴D（2，﹣6）， ∴BE＝CD＝2， ∴E（1，0）； 如图3﹣2所示，当四边形CDEB是平行四边形时，可得E（5，0）； 如图3﹣3所示，当四边形CBDE是平行四边形时， 设点D的坐标是（m，2m2﹣4m﹣6），点E的坐标为（n，0）， ∴2m2﹣4m﹣6＝6， 解得m＝1+或m＝1﹣（舍去）， ∵点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣6）， ∴BC＝＝3， ∵OD＝BC＝3， ∴OD＝＝3， 解得n＝， ∴； 如图3﹣4所示，当四边形CBDE是平行四边形时，可求 ； 综上所述，点E的坐标为（1，0）或（5，0）或或． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若以点A为圆心，R为半径的圆与BC相切于点D，求切点D的坐标，以及R的值； （3）若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点A作AD⊥BC，交OC于点G，垂足为D 根据A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），得出∠AOG＝∠BOC＝∠ADB＝90°，则∠OBC＝∠OCB＝∠GAO＝45°，根据＝，得出OG＝1，求出直线AG的函数表达式为y＝x+1，BC的函数表达式为y＝﹣x+3，联立即可求出D（1，2）最后根据sin45°＝，求出； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点A作AD⊥BC，交OC于点G，垂足为D， ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴OA＝1，OB＝OC＝3， ∵AB