专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量5种常见考法归类 1．空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 注：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定． 2．空间中的直线与空间向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量． 注：①直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行． ②空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定． （2）如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． 3．空间中两条直线所成的角 (1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． (2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥l2⇔v1·v2＝0． 4．异面直线与空间向量 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． (1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． (2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面． 注：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面． 注：“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 注：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一． 5．平面的法向量 (1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 注：①平面α的法向量有无数个，它们之间是平行关.系. ②一个平面的法向量与此平面共面的所有向量垂直 (2)平面的法向量的性质 ①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． (3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． (4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 6．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线． 7．空间中点的位置确定 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可. 8．直线的方向向量应满足的条件 空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与平行或重合. 9．利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角． 提醒：两异面直线夹角范围为，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键． 10．直线的方向向量在确定直线时起的作用： (1)非零性：直线的方向向量是非零向量． (2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量． (3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线． 11．两条平行直线的方向向量关系 设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb． 12利用空间向量处理平行问题 (