22.3 实际问题与二次函数-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 1 实物抛物线 ① 根据题意，结合函数图像求出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 根据图像，结合所求解析式解决问题。 2 实际问题中的最值 ① 分析问题中的数量关系，列出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 检验的值是否在自变量取值范围内，并求相关的值； ④ 解决提出的实际问题。 3 结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题. 【题型1】 销售问题 【典题1】 某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价每上涨1元，就少卖5件，售价定为每件25元时，可卖出105件．根据商场货物积压情况，每月出售件数不得少于80件，且不能亏本销售，设售价定为每件x元． (1)求出售件数为80件时，售价是每件多少元？并直接写出x的取值范围； (2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 解析 (1)由题意可得，80＝105﹣5(x﹣25)，解得，x＝30， 答：出售件数为80件时，售价是每件30元，x的取值范围是20≤x≤30； (2)设获得的利润为w元， w＝(x﹣20)[105﹣5(x﹣25)]＝﹣5x2+330x﹣4600＝﹣5(x﹣33)2+845， ∵20≤x≤30， ∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝800， 答：当售价定为每件30元时，一个月的获利最大，最大利润是800元． 【巩固练习】 1.某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y(个)，则下列y与x的关系式中哪一个是正确的(　　) A．y＝(10+x)(200+5x) B．y＝(10+x)(200﹣5x) C．y＝(10﹣x)(200+5x) D．y＝(10﹣x)(200﹣5x) 答案 B 解析 由题意可得，y＝(10+x)(200﹣5x)，故选：B． 2.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是(　　) A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元 答案 B 解析 ∵y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2(x﹣20)2+1558， ∴二次函数的对称轴为x＝20，开口向下， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤19，∴x＝19时，y取最大值， 此时y＝﹣2×(19﹣20)2+1558＝1556， 即一周可获得最大利润是1556元， 故选B． 3.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． (2)当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 答案 (1) y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)； (2) 每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元； 解析 (1)y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)； (2)由(1)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)． ∵﹣10＜0， ∴当时，y最大＝1960元； ∴每件商品的售价为34元． 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元； 4.小明投资销售一种进价为每台60元的护眼灯，在销售过程中发现，如果每台护眼灯售价为100元，每天可售出20台，若每台护眼灯每降价1元，则每天多售出2台，已知每台护眼灯的销售单价不低于成本价，且获利不超过成本的35%，设这种护眼灯的销售单价为x元，每天的销售量为y台． (1)求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)如果每天的销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？ (3)当护眼灯的销售单价定为多少元时，小明每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 答案 (1) y＝﹣2x+220，60≤x≤81； (2) 80元；(3)定价为81元时，日销售利润最大，最大利润是1218元． 解析 (1)根据题意得：y＝20+2(100﹣x)， 即y＝﹣2x+220， ∵每台护眼灯的销售单价不低于成本价，且获利不超过成本的35%， ，解得：60≤x≤81． (2)根据题意得：(x﹣60)(﹣2x+220)＝1