22.2 二次函数与一元二次方程-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程 二次函数的图像与轴交点的横坐标是与一元二次方程根. 【例】求二次函数的图像与轴交点坐标. 解 令，得，故二次函数的图像与轴交点坐标； 令，得，解得或， 故二次函数的图像与轴交点坐标为或. 2 二次函数与轴交点个数 二次函数的图像与轴交点的个数情况如下， 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴没有交点. 【例】 判定二次函数、、与轴交点个数. 解 二次函数、、与轴交点个数分别是个、个、个. 3 二次函数与一元二次不等式 抛物线在轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的的所有值就是不等式的解集；在轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的的所有值就是不等式的解集. 【例】 对于二次函数，当取什么值时，，，. 解 令，得，解得或，即当或时，， 由函数图像可知，当或时，；当时，. 【题型1】 二次函数图像与轴交点问题 【典题1】若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为(　　) A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0或m＝1 解析 当m≠0时， ∵二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝4﹣4m＝0，且m≠0，解得：m＝1． 当m＝0时y＝2x+1与x轴只有一个交点， 综上所述，m＝0或m＝1， 故选：D． 【典题2】已知抛物线y＝x2+bx+c过A(m，n)，B(m﹣4，n)，且它与x轴只有一个公共点，则n的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．6 D．16 解析 ∵抛物线y＝x2+bx+c过点A(m，n)、B(m﹣4，n)， ∴对称轴是直线x＝m﹣2． 又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴顶点为(m﹣2，0)， ∴设抛物线解析式为y＝(x﹣m+2)2 把A(m，n)代入，得n＝(m﹣m+2)2＝4，即n＝4． 故选：A． 【典题3】已知二次函数y＝x2﹣(m+2)x+2m﹣1． (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数图象与y轴交于点(0，3)，求该函数的图象与x轴的交点坐标． 解析 (1)解：令y＝0，则x2﹣(m+2)x+2m﹣1＝0， ∴Δ＝[﹣(m+2)2]﹣4(2m﹣1)＝m2+4m+4﹣8m+4＝m2﹣4m+8＝(m﹣2)2+4≥4， ∴Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点； (2)∵函数的图象与y轴交于点(0，3)． ∴2m﹣1＝3，∴m＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1， 当y＝0时，0＝(x﹣2)2﹣1， ∴x1＝3，x2＝1， ∴该函数的图象与x轴的交点坐标(3，0)或(1，0)． 【巩固练习】 1.若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是(　　) A．﹣4 B．0 C．4 D．8 答案 D 解析 ∵抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，∴x2+4x+c＝0无解， ∴Δ＝16﹣4c＜0，解得c＞4， 故选：D． 2.抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3 答案 D 解析 抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点， 即与x轴有一个交点，与y轴一个交点． 令y＝0得x2+2x+a﹣2＝0， ∵与x轴一个交点时，∴Δ＝4﹣4(a﹣2)＝0，解得a＝3， 当与x轴有两个交点，且其中一个交点与y轴交点相重合时， 此时a﹣2＝0，∴a＝2， 故选：D． 3.已知二次函数y＝(m﹣1)x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是(　　) A． B． C．且m≠1 D．且m≠1 答案 D 解析 令(m﹣1)x2+3x﹣1＝0，则Δ＝32+4(m﹣1)＝4m+5， 当4m+5≥0时，即时图象与x轴有交点， ∵m﹣1≠0，∴且m≠1， 故选：D． 4.根据下表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是(　　) x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4 答案 C 解析 由表知当x＝﹣2和x＝3时，ax2+bx＝6， ∴ax2+bx﹣6＝0的根x1＝﹣2，x2＝3， 故选：C． 5.把二次函数y＝x2+2x+m的图象向上平移2个单位长度，若平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为(　　) A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 答案 B 解析 ∵y＝x2+2x+m＝(x+1)2+m﹣1