22.1 二次函数的图像与性质-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像与性质 1 二次函数的概念 一般地，自变量和因变量之间满足 为常数)，则称为的二次函数. 2 二次函数的解析式 （1）一般式：； （2）顶点式：，其中顶点为; （3）交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标. 3 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【例】二次函数的图像如下图，开口向上，对称轴是，顶点为，当时随的增大而减小，当时随的增大而增大，有最小值. 二次函数的图像开口向下，对称轴是，顶点是. 4 二次函数的平移 平移口诀：左加右减、上加下减. 【例】向左平移个单位，解析式变为，再向上平移个单位， 解析式变为. 【题型1】 一般式或顶点式二次函数的图像与性质 【典题1】 二次函数y＝﹣2(x+2)2﹣4，下列说法正确的是(　　) A．开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．顶点坐标为(﹣2，4) D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 解析 ∵二次函数y＝﹣2(x+2)2﹣4， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 对称轴是直线x＝﹣2，故选项B错误； 顶点坐标为(﹣2，﹣4)，故选项C错误； 当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，故选项D正确； 故选：D． 【典题2】如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y＝acx+b的图象可能是(　　) A． B． C． D． 解析 A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意． 故选：B． 【典题3】已知二次函数y＝2x2﹣4bx﹣5(b≥﹣1)，当﹣3≤x≤1时，函数的最小值为﹣13，则b的值为(　　) A． B．2 C． D．1 解析 ∵二次函数y＝2x2﹣4bx﹣5＝2(x﹣b)2﹣2b2﹣5， ∴对称轴是直线x＝b， ①当b≥1时，在x＝1处，取最小值，如图①，令x＝1，得y＝2﹣4b﹣5＝﹣13， ∴b＝，符合； ②当﹣1≤b≤1时，在x＝b处，取最小值，如图②，令x＝b，得y＝﹣2b2﹣5＝﹣13， ∴b＝2或b＝﹣2，均不符合条件，舍去． 综上，b＝． 故选：A． 【巩固练习】 1.关于二次函数y＝﹣(x+2)2﹣1，下列说法错误的是(　　) A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是(﹣2，﹣1) C．当x＞0时，y随x增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 答案 D 解析 因为a＝﹣1＜0，所以图象开口向下，故A正确； 顶点坐标是(﹣2，﹣1)，故B正确； ∵抛物线对称轴为x＝﹣2．∴当x＞﹣2时，y随x增大而减小， ∴当x＞0时，y随x增大而减小，故C正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为(﹣2，﹣1) ∴抛物线与x轴没有交点，故D错误； 故选：D． 2.关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是(　　) A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到x轴的距离是2 答案 D 解析 ∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣(x﹣1)2﹣2， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，﹣2)， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴A、B、C不正确； ∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2， ∴D正确， 故选：D． 3.抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为( ) A． B． C． D． 答案 D 解析 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为， 抛物线与轴