第一章 第三节 等式性质与不等式性质-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

【点评】 理解全称量词与存在量词的含义是求 解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转 化”，即“函数 J(x ） 的值域是 g(x）的值域的子 集”从而利用包含关系构建关于 α 的不等式组， 求得参数的取值范围． 类型二 形如“存在 Xl εA 及工2εB，使得 JCx1) = g(xz ）成立” 已知函数 f Cx) = 2x, x ε ［o,f J ，函数 g（户kx 2k + 2 （走＞ o),x ε ［。去］ ，若存在 【例 2】 工1ε ［o ，÷］及工2ε ［o,fJ ，使得 JCx1) = g(xz) 成立，求实数走的取值范围， 富 于 第 集合、常用逻辑用语与不等式 【点评】 本类问题的实质是“两函 数 f(x）与 g(x）的值域的交集不为空集”，上述解法的关键 是利用了补集思想．另外，若把此种类型中的两 个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利 用“J(x） 的值域和 g(x）的值域相等”来求解参数 的取值范围． 类型三 形如“对任意 X1 ξA，都存在 Xz ξB，使得 JCx1 )<gC工z ）成立” 【侣。 3】 已知函数 f(x) = x + ~, g( x ) = 2x 十α，若 V X1ε ［f ,1], 3x2 ε 口 ， 3 ］，使得 f Cx1 )< g(xz ），则实数 α 的取值范围是 【点评】 理解量词的含义，将原不等式转化为 f(x) max运g(x)max ； 利用函数的单调性，求 J(x) 与 g(x）的最大值，得到 关于 α 的不等式，从而求 得 a 的取值范围． 第三节 等式性质与不等式性质 。课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 1. 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着 命题角度 不等式的性质及应用 大量的不等关系． 2. 实数的大小顺序与运算性质的关系． 核心素养 逻辑推理、数学分析 3 . 不等式的性质的应用． 。基础知识。。令。 ［知识梳理］ 1. 两个实数比较大小的方法 (a-b>O仲α b, (1）作差法斗 α－b= O¢:=,a b （α ，bε酌， la b<O件a b. ~ ｜？〉阳 b(b>O) , (2）作商法斗孚＝ l件a b(b芋0)' ｜ 孚＜l件G b(b> O). • u 一 • 9 • 高菩总复习·数字 2. 等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 α＝b仨中b＝α 性质 1 ：α＞b8b＜α a=b,b=c丰α＝ c 性质 2:a>b,b>c丰a>c α＝ b仲a士c=b± c 性质 3 ： α＞b样α十c>b十C α＝b＝＝：＞αc=bc; 性质 4 ： α＞b,c>O＝＝：＞ αc> αb α＝b,c手O二〉一＝一 bc;a>b,c<O二＞ac<bc c c a=b,c=d＝学 性质 5 ：α＞b,c>d＝争a十 α＋c=b+d c>b+d a = b ,c= d==:>ac= bd 性质 6 ：α＞b>O,c>d>O 二＞ac>bd α＝ b注O==:>an =bn 性质 7 ：α＞b>O＝＝：＞♂〉扩Z （ηε N,n二三2) C教师点评］ 两个同向不等式可以相加和相乘吗？ ；经典结论永流传 ! 1. 倒数性质的几个必备结论 1 1 Cl)a>b,ab>O丰一＜－－－－；－ ； a D : 1 1 • (2 ）α＜o<b==:> <---:;-; a D • (3)a > b> O ,O<c<d＝＝：＞丘〉耳； ' c a 1 1 1 (4)0<a<x<b 或 α＜x<b<O二＞－－－：；－《 ． D X a l z. 两个重要不等式 b b+m b b-m 若 a>b>O,m>O ，则： (1）一＜－－－－，－－一，一〉一一－ αα「－ηz aαm: a+m αα－m (b - m > O); (2 ） 一〉一一一 ，一〈一一一 （b-m> 卢 b b + m b b - m 0( 企核心考点φφ 回国配用不等式（组）表示不等关系 ［题组练透］ 1. 某矿山车队有 4 辆载重 10 t 的甲型卡车和 7 辆 载重 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天 至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每 10 ［教材升华］ 1. （必修第一册 43 页习题 11 题改编）若 α ， b 都是 实数，则“J;;-Jb＞。”是“a2-b2 ＞。”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 c. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. （必修第一册 43 页习题 8 题改编）已知非零实数 α， b 满足 α＜b，则下列不等式中一定成立的是（ A. In a<ln b 1 1 B. 一＞－－－－；－ a D C. a2<b2