第三章 培优微专题7 活用“龙凤不等式”求解导数问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

第三章 一元函数的导数及真应用 培优微专题 7 一一活用“龙风不等式”求解导数问题 新教材选择性必修第二册 P~~ T12利用函数的 单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验 证，其中 Cl) ex> x + 1 , x手0，这个不等式的一般结 论是： (l)eX 二三x+l ，当且仅当 x=O 时等号成立．其 几何意义是曲线 y=ex 总是在点（0,1）处切线 y= x+l 的上方． 这个不等式有一个孪生不等式； 把 ex>x + 1 中的 工换成 In z，得到孪生不 等式 ； (2) In z < z 1 ，当且仅当工＝ 1 时等号成立． 其几何意义是曲线 y=ln x 总是在（ 1, 0）点处切线 y=x-1 的下方． 从数形结合的角度看“龙凤不等式” ex注z十 1(仅当 x= O 时取等号） 分别画出 y=ex ,y=x+l 的图象 |/ |/ lr (x) Ice' A/ ，、 岛 I/ E 元）＝组 +1 ，ν |/ 5 |/ / - ~ In z < z 1(仅当 x= l 时取等号） 分别画出 y= ln x,y二Z 1 的图象 / I (x), 'X 1 / ，、 / 4』 明／ ,,,,, 「 同ix)=l “) |/ ν，， LI ‘ / I / -~ / | 这两个不等式可以独立证明，有趣的它们还可 以互相推出，即是等价的不等式． 它们形异而质同， 并且可以生出诸多不等式．题在书外，根在书中，源 于教材，高于教材． 不少高考题和模拟题都是以这 两个“龙凤不等式”为题根命制的． ln x《x- 1 ，.：：：：二主1 － ＿！＿ζln x 工 I －＿！＿ζln z < x-1 工 不等式两边倒数（x>O) ex 二三 x 十 l ＝主ex 二三 ex e-xζi ex I 1 ex 1 二三z丰el zζ土丰el zζz丰el 画三三ex丰 工 In z关＿ __!__ ex 1 1 【例 1】 己知函数f(x) = 2ln z十一十了丁· 工乙Xu Cl）讨论函数J(x）的单调性； ω求证：（x一问 x -x)+2ln x<f. 。 ＿x 1 E例 2】 求证： ex ln x＋二L一＞1. 立， 【例 3】 求证：xex - 2eln z二三e(x2 -2x十2) . • 81 • 高警总复习·数学 【名师点评】 龙凤不等式这对会下蛋的母鸡，通 过代换生出新的不等式，然后用新的不等式求参 数的值或取值范围或证明不等式．这种解法是用 联系的观点和“继承、创新、发展”的理念思考数 学问题，没有求导，有的是不等式的字母的代换， 给人一种“乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄”的 全新视角． ［跟踪训练］ 1. 己知函数f(x)=x-I-aln x. (1）若f(x）注0，求 α 的值 F α〉设 m 为整数，且对于任意正整数 n, ( I +÷) (1十去） ... ( 1十去）＜m，求 m 的最小值 2. 己知函数f(x)=ex-ln (x+m), <I ）设 x=O 是f(x） 的极值点，求 m，并讨论 f(x）的单调性； (II ）当 m《2 时，证明：f(x》o. 3 已知函数f叶 (1）若 x>l，求证不等式 ln £ < £ - 1 , ex一1 >x; (2）若 x>I 而且 t>-1 时，求证f(x)>-50+ f 1n x). 4. (1）证明不等式： I －＿！＿ζln Z < x-ICx> 0); x (2）若关于 z 的不等式aO - x2) + x2 ln z杀。在 o<x《1 时恒成立，求实数 α 的取值范围． • 82 • 第 3 课时 函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等 多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数 与方程等数学思想．函数的零点问题常与其他知识 相结合综合出题，解题难度较大，因此判断零点存 在及零点个数问题是考查的一个热点． 处理函数的零点问题一般有以下 4 种方法： (1）直接法：判断一个零点时，若函数为单调函 数，则只需取值证明 JCα） • f(b)<O; (2）分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单 调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理， 在每个单调区间内取值证明 JCα） • /Cb)<o. A核心考点令令 回国配数形结合法研究函数的零点 ［师生共研］ 【例 1】 设函数J(x)= ln x＋旦，mε R. 工 (1）当 m= e(e 为自然对数的底数）时，求f(x） 的 极小值； ω讨论函数 g(x)=/Cx)-f零点的个数 ：解题技巧 . 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的i i个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用 x ；表示参数的函