第三章 核心专题突破1 高考中的函数与导数问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数字 Cl）将 V 表示成 r 的函数 V（吵，并求该函数的定 义域； (2 ）讨论函数 V(r） 的单调性，并确定 r 和 h 为何 值时该蓄水池的体积最大． 目~利用导数求解函数极值和最值的综合 问题 ［师生共研］ 【例 7】 已知函数f(x) =ln x - x - ax2 Cl）若 α二三0 ，求函数f(x）的单调区间 ： (2）若J(x) > o 对任意的 z仨［l ，十∞）恒成立 ， 求实数 a 的取值范围． i解题技巧 i 恒成立问题向最值转化的方法 (1 ）要使不等式f(x) <h 在区间 ［m，记上恒i i成立 ，可先在区间 ［m， η］上求出函数f(x） 的最大（ （值f(x)max ，只要 h>J(x） 口阻，则不等式J(x) <h\ ：恒成立 ； (2）要使不等式f(x) > h 在区间〔m ， η］上恒j i成立，可先在区间 ［m,n］上求出函数f(x） 的最小i j值f(x) min ，只要 f(x)min > h，则不等式f(x) > h ) ：恒成立 ［跟踪训练］ 已知函数f(x) = ln x＋←2 -ax十内忧） Cl ）若函数f(x）在（0 ， 十∞）上为单调递增函数， 求实数 a 的取值范围； (2）若函数f(x）在 x= x1 和 工＝ x2处取得极值 ， 且 xz ??-le.xi ( e 为自然对数的底数），求 f(xz) - /Cx1 ）的最大值． 温毛主 请做课时作业（十七）P321 核心专题突破 1 高考中的函数与导数问题 第 1 课时 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的 不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关 的函数，利用函数单调性 、极值、最值加以证明．常 见的构造方法有 ： Cl ）直接构造法 ： 证 明不等式 f(x ) > g (x) (J(x)<g(x））转化为证明f(x) g(x ) > o (J(x ) 证明不等式 - g(x ) < O ），进 而构造辅助函数 h ( x ) = J ( x ) g(x ); ( 2）适当放缩构造法 ：一是根据已知条件适当 放缩 ，二是利用常见的放缩结论，如 In z < x - 1, • 74 • ex注x+ l, In x<x<ex (x>O） 一乙ζIn Cx+D运 ’x+l x(x>-1); (3）构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不 等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转 I⑦核心考点令令 回国目比较法”构造函数证明不等式 ［师生共研］ 【例 1】 设函数J(x) =ln x-x+l. (1）讨论f(x） 的单调性； (2）证明当 zε(1 ，十∞）时， l＜手二l＜川 lll x (3）设 c> l ，证明 当 z ε （0, 1) 时， l + Cc-l)x > ex ’ ：解题技巧 . ） . 待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地， ； 可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通 i 过研究其单调性等相关函数性质证明不等式． \ 2 . 利用构造差函数证明不等式的基本步骤 (1）作差或变形； (2）构造新的函数 g(x) ; (3）利用导数研究 g(x） 的单调性或最值； (4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 且 旱 三第 一元函数的导数及真应用 化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相 同结构”构造辅助函数； (4）构造双函数：若直接构造函数求导难以判 断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性 与极值点都不易获得，则可构造函数J(x）和 g(x)' 利用其最值求解． 立 ［跟踪训练］ 已知函数f(x)=2xln x+ax2 ,g(x)=4ln x十1. (1）若函数 y= f(x）在 co. ＋＝）上单调递减，求 α 的取值范围； (2）若 α二月，证明：f(x） 二三g(x). 因~构造双函数，利用“若 f(x)min > g(x)max ，贝IJJC工）>g(x）＂证明不等式 ［师生共研］ 【例 2】 已知函数J(x） 二 eln x-ax(a仨 R). (1）讨论f(x） 的单调性； (2）当 α＝ e 时，证明：z J(x)-ex十2ex《0. • 75 • 高菩总复习·数字 ；解题技巧 ! 对于本例第（2）问中 z f(x)-ex 十2ex运0 的 j i证明若直接构造函数以工） = xeln x - ax2 - ex +. . 2町，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为 j(x）《专 2e 或 ln x x十K二，再分别对不等； ；式两边构造函数证明不等式． : ［跟踪训练］ 已知函数f(x) =xln x ax. Cl ） 当 α＝－ 1 时，求函数f(x） 在（0, ＋＝）上的 最值； (2