第三章 第二节 导数在研究函数中的应用+培优微专题6 f(x)与f'(x)共存问题的常见模型构建-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

第三章 一元函数的导数及真应用 第三节导数在研究函数中的应用 。课程标准。。。。 …「 新课程标准 考向预测 1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系； 1. 导数与函数的单调性 能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的 2. 导数与函数的极值、 单调区间． 命题 最值 2. 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 角度 3. 导数与不等式 件；会用导数求不超过＝次的多项式函数的极大值、极小值，以及 4. 导数与函数的零点 在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 3. 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解 核心 数学运算、逻辑推理 决实际问题中的作用． 素养 第 1 课时 导数与函数的单调性 币基础知识。φφφ ［知识梳理］ 函数的单调性与导数的关系 函数 y=f(x）在区间 （a ，的内可导， (1）若J' (x)>o ，则f(x）在区间 （a,b） 内是单调 函数； (2）若J' (x)<o ，则f(x）在区间（α，的内是单调 函数； (3）若恒有J' (x） 二0 ，则J(x）在区间（α ， b） 内是 函数． i讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是i j解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． C教师点评］ Cl) J' ( x) > 0 C < 0 ）是 J(x） 在区间 （α，的内单调递增（减）的充分不必要条件． (2) J' (x） 二三0 （《0）是f(x）在区间（α，的内单调递 增（减）的必要不充分条件． (3）由 f(x） 在区间（α，的内单调递增（减）可得 j' (x） 二三0 （《0）在该区间内恒成立，而不是j' Cx) >o(< O）恒成立，“＝”不能少，必要时还需对 6二”进行检验． 习 ：经典结论永流传 : 可导函数f(x）在 （a，的上是增（减）函数的充i i要条件是对Vzε （α ， b），都有j' (x） 注o Cj' Cx）运 j \ o ）且J' (x） 在（α ， b）上的任何子区间内都不恒为： ：零． ［教材升华］ 1. c选择性必修第二册 89 页联系 Tz 改编）函数 J(x) = cos x-x 在co ， π）上的单调性是 ( ) A. 先增后减 B. 先减后增 c. 增函数 D. 减函数 2. （选择性必修第二册 的 页练习 T1 改编）函数 f(x) = x ln z 的单调递减区间为 ( • 1 ~ :H:1~11 一、思考辨析（正确的打“J ”，错误的打“× ”） (1）若函数J(x）在（α ，b）内单调递增，那么一定有 /Cx) > o. C ) (2）如果函数f（。在某个区间内恒有 j' (x) = O, 则f(x）在此区间内不具备单调性． ( ) (3）在（α ， b）内 J' (x）ζo 且 j' (x) = O 的根有有 限个，则f(x）在（α，的内是减函数． ( ) • 67 • 高菩总复习·数字 二、易错纠偏 1. 函数 f(x) =3+x ln z 的单调递减区间是（ ) A. ( ÷ ,e) B. ( o , 二） c. ( ＝士） D. ( ＋，十∞） 。核心考点。令 回国求函数的单调区间 ［师生共研］ 配】 函数 y＝←2一 ln x 的单调递减区间为 A.(-1,1] B.(0,1] C. 口，＋＝） o. co,+=) ：解题技巧 (1）确定函数f(x） 的定义域． (2）求 J' (x). () (3）在定义域内解不等式 ！＇ (x) >o，得单调 ：递增区间． . (4）在定义域内解不等式 J'(x) < o，得单调 i i递减区间． ［跟踪训练］ 已知函数f(x） ＝子＋旦 ln x 号，其中 αε R, '± x £. 且曲线 y= f(x）在点 (l,J(l））处的切线垂直于 直线 y＝卡 (1）求 α 的值； (2）求函数f(x） 的单调区间． 2. （求参数范围易忽视等号成立致误）若函数 f( x ) =kx一ln z 在区间 (1 ，十∞）上单调递增 ， 则是的取值范围是 ( ) A. C = , 2] B. C = , 1] C. [2, + =) D. 口，十∞） 因~证明（判断）函数的单调性 ［师生共研］ 习 【例 2】 己知J(x) = _!_x2 一 (1十ah＋αln z ，其中 2 a 为实数． (1）若 α＝ l ，求曲线f(x）在 x=l 处的切线方程； (2）求f(x） 的单调区间． ：解题技巧 ; (1）当导函数不等式可解时，解不等式j' (x) j ) >o 或j' Cx)<o 求出单调区间； (2）当方程J' ( x ) = 0 可解时，解出方程的实i j根