第七章 第五节 空间向量及空间位置关系-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

［跟踪训练］ 第它章立体几何与空间向量 (2）求点 A 到平面EDE 的距离． 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=BC= AA1 = I.AC＝点，点 D,E 分别为 AC 和 B1C1 的中点． Ai E Bi[,,) .C1 A飞「布 －--;;:7c ＼ι B Cl）棱 AA1 上是否存在点 P使得平面 PBDl_平 面 ABE？ 若存在，写出 PA 的长并证明你的结 论；若不存在，请说明理由． 温馨乓 提示 请做课时作业（四＋一）P367 第五节空间向量及空间位置关系 。课程标准。。。。 新课程标准 1. 空间直角坐标系 Cl）在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立 空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． (2）借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索 并得出空间两点间的距离公式． 2. 空间向量及其运算 命题角度 Cl）经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的 概念． (2）经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3 . 向量基本定理及坐标表示 Cl）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示． (2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 4. 空间向量的应用 Cl）能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的 法向量． 核心素养 (2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹 角以及垂直与平行关系． (3）能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定 定理． • 177 • 习 考向预测 1. 空间向量的线性 运算 2. 共线、共面向量定 理的应用 3. 空间向量数量积的 应用 4. 利用空间向量证明 平行或垂直 数学运算 高菩总复习·数字 企基础知识。φ令。 C•J田l~！匪i:'I~· • • • I ［知识梳理］ 1. 空间向量及其有关概念 (1）空间向量的有关概念 空间向量 在空间中，具有 和 的量叫做空间向量 相等向量 方向 且模 的 向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的 直线互相 的向量 共面向量 的向量 (2）空间向量中的有关定理 共线向 对空间任意两个向量 a,b(b# 0) ,a// b件存在唯一一个 AεR, 量定理 使 a=).b 若两个向量 a,b 不共线，则向量 共面向 p 与向量 a,b 共面同存在唯一 量定理 的有序实数对句， y） ，使 p=xa 十yb 如果二个向量 a,b,c 不共面，那 空间向量 么对空间任一向量 p，存在有序 基本定理 实数组（工，y,z ｝使得 p=xa+yb 十zc 2 . 两个向量的数量积 (1）非零向量 a,b 的数量积α· b= Iα1 1 b I cos俑， b ) . (2）空间向量数量积的运算律 ①结合律 ： 0.a) • b = ).(a • b） ；②交换律 ：a•b= b • a ；③分配律：a• (b十c) =a•b+a•c. 3 . 直线的方向向量与平面的法向量 (1）直线的方向向量：如果表示非零向量 α 的有 向线段所在直线与直线 t 平行或共线，则称此向 量 a 为直线 l 的方向向量． (2）平面的法向量 ：直线 l_l_a ，取直线 f 的方向向 量α ，则向量 a 叫做平面α 的法向量． (3）方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 4. 空间向量的运算及其坐标表示＠ 设 a＝（α1 ，α2 ,a3) ,b= Cb1 ，的，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a • b 「 共线 a＝λb(b#-0) α1 = ).b1 ,az =).b2 ，α3 = ).b3 a • b二。 垂直 (a手O,b手0) 模 lal Jar +a~+ a~ cos<a, b） 二 夹角 愧，b)(a手O, a1b1 +a2b2+a, b3 b手0) Jar 十a~ 十α~ · Jbr +b~ 十b~ ［教师点评］ 1 共线向量与共面向量相同吗？ ［教师点评］2 空间向量的坐标运算与坐标原点的 位置选取有关吗？ C教师点评］3 空间向量基本定理的 3 点注意 (1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的 一个基底； （2）由于 0 与任意一个非零向量共线 ， 与任意两个非零向量共面，故。 不能作为基向 量 ；（3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底 唯一表示． ：教师点i平〕4 理解有关向量的数量积的 2 点提醒 (1 ）若 a ,b, c( b芋0）为实数，则 ab= bc＝＞α＝ c ，但 对于向量就不正确，即 a•b=b•c 非 a= c; (2) 向量数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及 数乘结合律，但不适合