第二章 第五节 指数与指数函数-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

第二章 函数概念与基本初等函数 第五节 指数与指数函数 。课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 1. 通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景． 1. 指数辜的运算 2. 理解有理指数辜的含义，通过具体实例了解实数指数旱的意义，掌 2. 指数函数的图象及 握幕的运算． 命题角度 应用 3. 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指 3 . 指数函数的性质及 数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 应用 4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数 模型． 。基础知识。。令。 1. 指数与指数运算 (1）根式的性质 ［知识梳理］ ( C:Tar ＝α（α 使'Ta有意义）． ②当 η 是奇数时 ，;ran二 （，α主o. 当 n 是偶数时J豆－－－；，＝ ＝ ！’ γ ＇ 一一一一－ \ a ，α＜o. (2）分数指数幕的意义 .. ( a'; =J;;m（α＞o,m ，η仨 N赞 ，且 n>D. C分数指 数萃的意义是解决根式与分数指数罪互化问题 的关键）． 。＿！！！ 1 ~ a n 二一万二1二（α＞O,m,nEN笋，且 n>D. a-; Jαm ③0 的正分数指数事等于 0,0 的负分数指数幕 没有意义． (3 ）有理数指数幕的运算性质 ( ar • as= （α＞o,r,sε Q); ②已＝ （α＞o,r,s εQ); α 一一一一一一一一一 ③（αr)s 二 Ca>O,r,sξ Q); ( CabY = Cα＞o,b>O,rε Q) . (1）有理数指数辜的运算性质中，要求指数的底 数都大于 0 ，否则不能用性质来运算． 核心素养 数学运算、直观想象 ···~ (2）有理数指数幕的运算性质也适用于无理数指 数幕． 2. 指数函数的概念 函数 y=ax Ca>o ，且 α芋 1 ） 叫做指数函数，其中 指数工是自变量，函数的定义域是 R，α 是底数． 形如 y=kax ,y=ax+k （是 εR 且走芋O,a>O 且 α 手1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 3 . 指数函数 y=ax (a>O ，且 α手1)的图象与性质 底数 α＞I o< a< l 图象 j二 + 定义域为 ，值域为 图象过定点 当 x>O 时，恒有 y> 当 x> O 时，恒有 性质 1 ； 当 x<O 时，恒有 o O<y< l ； 当 x< O < y < l 时，恒有 y>l 在定义域 R 上为 在定义域 R 上为 指数函数 y=ax (a>o ，且 a手1)的图象和 注意 性质与 α 的取值有关，应分 α＞ I 与 o＜α <I 来研究 • 41 • 高菩总复习·数字 C教师点评］1 Cl）有理数指数幕的运算性质中，要 求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来 运算． (2）有理数指数寨的运算性质也适用于无理数指 数幕． C教师点评］2 讨论指数函数的性质时，要注意分 底数 α＞I 和o<a<l 两种情况． ：经典－幸言语云流传 : ）.指数函数图象的画法 : 画指数函数 y=aX(a>o，且 a=FU的图象，应抓i ! 住三个关键点： Cl,a),(0，叫－ 1.士 ). j 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数Cl) y 二矿，（2) y二 bx,(3)y二 i ex, (4)y=dx 的图象，底数 G ,b,c,d 与 1 之间的 ！ 大小关系为 c>d> I＞α＞b> O. 由此我们可得l 到以下规律：在第一象限内，指数函数 y=ax • Ca>O ， α=Fl）的图象越高，底数越大． {l~ I 01 i x=l x I⑦核心考点。令 回国配指数嚣的化简与求值 ［题组练透］ 1 化简 a俨于＝ A. j="-;;, c. - Ja B. ,;=--;;_ D. Ja ( 1 \ -+~ ( 4ab-1 )3 2. 计算：｜丁） • 们"C<UU l 飞 4' co.u -1-cα3 • b-3 ） 言 （α＞O,b>O) . 3 . 己知 a＋ ＋α一专 ＝汀，求下列各式的值： Cl ）α十α一1 ; () ［教材升华］ 1. （必修第一册 105 页例 1 改编）计算汪古万)3 斗日=--:t54= 2. （必修第一册 120 页习题 9 题改编）若函数 y= (k十2)aX +2-b （α＞o ，且 α手1）是指数函数，则 走＝ ,b= （，亘古刑眩目~· 一、思考辨析（正确的打“J”，错误的打“× ”） Cl ） 在τ＝ (J;)n =a(nE N 铃） () (2）分数指数军J可以理解为旦个a 相乘．（ ) n (3）函数 y=3 • 2元与 y=2x十1都不是指数函数． () (4）若