第二章 第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性+培优微专题4 函数奇偶性的拓广性质及应用-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数字 ：解题技巧 ! 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最i i高点、最低点，求出最值； (2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单j j调性求最值； (3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转i j化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； (4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具i i备“一正二定兰相等”的条件后用基本不等式求出 i j最值； (5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上i i的极值，最后结合端点值，求出最值． ［跟踪训练］ 1. ( 2022 北京卷）设函数 f (x) = （“＋1 ，工＜α ， (x 2户，z二三α． 若 f(x） 存在最小值，则 α 的 一个取值为 川的最大值为 2 函数 f(x) = (÷)x -logz (x十 2）在区间 ［ -1, l] 上的最大值为 温馨 乓 提示 i青做课时作业（七）P300 第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性 布课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 1. 函数奇偶性的判定 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 命题角度 2. 函数奇偶性的应用 2. 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3. 函数的周期性 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简 4. 函数性质的综合应用 单函数的周期性． 币基础知识。。令。 t知识梳理1 1. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 如果对于函数 f(x） 的定义域内任 意一个工 定义 都有 f ( x) 都有 f ( - x) = = - f(x ） ，那 f(x） ， 那 么函数 么函数 f(x) f(x）是偶函数 是奇函数 图象特征 关于 y 轴对称 关于原点对称 核心素养 数学抽象 ~ ；经典结论永流传 : (1) 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶 ；性的前提条件． \ c2）若 f(x）手0，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： f( -x) I (1) f( - x) = f (x）同J(-x)- f(x)=O件一一一一 f(x) \ \ =1仲f(x）为偶函数； j(2)f( x ） 二 f Cx) R f ( x) + f Cx ） 二 0件l f(-x) : l....:::.._」三＝ － 1件f(x）为奇函数－ j f(_x) 2 . 函数的周期性 (1）周期函数 对于函数 f(x），如果存在一个非零常数 T，使得 当 z 取定义域内的任何值时，都有 ，那 么就称函数 f(x） 为周期函数，称 T为这个函数 的周期． • 32 • ：经典结论永流传 : 周期函数定义的实质 ：存在一个非零常数 T，使 f(x+ T) = f(x ）为恒等 i i式，即自变量 z 每增加一个 T 后，函数值就会重i j复出现一次． (2）最小正周期 如果在周期函数 f(x ） 的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x） 的最小正周期． C教师点评］ 1 函数图象分别关于坐标原点、y 轴 对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？反之，成 立吗？ C教师点评］2 若 f(x）是奇函数，则一定有 f(O)= 0 吗？ ；经典结论永流传 . : 1. 奇偶性的 3 个重要结论 (1）如果函数 f(x ） 是偶函数，那么 f(x) = f( lx l ). (2）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同i 的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具！ 有相反的单调性． (3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类： 型，即 f(x) = O,xεD，其中定义域 D 是关于原i 点对称的非空数集． . (4）在公共定义域内有：奇士奇→奇，偶士偶→i 偶，奇 ×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． j z . 周期性的常用结论 : 设函数 y=J(x) ,xεR,a>O. (1）若 f(x+a) = f( x a），则 f(x）的一个周期； 为 2α ； 1 (2）若 f(x＋α）＝－ f(x），则 f(x） 的一个周期 ； 为 Za; . : (3）若 f(x十α ） = ＿＿＿＿＿！＿＿＿＿ ，则 f(x ） 的一个周期（ J( x ) 为 2α ； • (4）若 f(x十a）＝－＿！一则 f(x）的一个周期 （ f(x ) ’ 为 2α． . 3 . 对军事性的 3 个常用结论 (1）若函数 y= f(x＋α）是偶函数，即 JCα－ x) =JCα＋x） ，则函数 y= f(x ） 的图象关于直线i x=a对称； 第二章 函数概念与基本初等函数 (2 ）－若对于 R 上的任意 z都有 j(za x-) =• f(x）或 J(-x)=f(Zα＋ x） ，则 y= f(x） 的图 ： 象关于直线 z二α 对称；