第二章 第六节 对数与对数函数+培优微专题5 巧解指数、对数函数综合问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数字 (3）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教 室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药 量 y（单位：mg）：随时间到单位： h）的变化情况 如图所示：在药物释放过程中，y 与工成正比；药 物释放完毕后， y 与工的函数关系式为 y= 中…叫常数）则含药量 y 随时间工变化的 函数表达式为 ；经过 小时 以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到 0. 125 mg 以下． y x 。 I 0.2 ：解题技巧 指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶i j性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数j i函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是i l单调性，注意利用单调性实现问题的转化． ［跟踪训练］ 1. 已知 a=zt ,b=4t ,c=Z庐 ，则 A.b＜α＜c B. a<b<c C. b<c<a D. c＜α＜b 2. 设函数 f (x) = zx - z-x + x3 ，则使得不等式 f(Zx-1)+ f(3)<0 成立的实数工的取值范围 是 温馨乓 提示 i青做课时作业（十）P306 第六节 对数与对数函数 而课程标准。。。。 习 新课程标准 考向预测 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转 1. 对数式的化简与 化成自然对数或常用对数；了解对数的发现历史以及对简化运算 求值 的作用． 命题角度 2. 对数函数的图象及 2 . 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对 应用 数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算 3. 对数函数的性质及 器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单 应用 调性与特殊点． 3. 知道指数函数y=ax 与对数函数 y=log卢工互为反函数（α＞o ，α芋1). 核心素养 直观想象、数学运算 。基础知识。φ令。 ~ 续表 • • • I 1 的对数是 :loga 1= 底数的对数是 :logaa = ［知识梳理］ 1. 对数的概念及运算性质 对数恒等式：alogaN = 如果 （α＞o，且 α手1) ，那么数 z 叫做 loga (M • N) = 运算 M α＞o，且 α手1, 性质 loga N = M> o,N> o 概念 以 α 为底N的对数，记作x= ，其中 α 叫做对数的 ,N 叫做 底数的限制 a>O ，且 α＃ 1 logaMη ＝ (nε R) 换底 logcb logab ＝「一－ （a>O ，且 α手l;c>O ，且 c手1; 公式 ogcα b> O) 性质 对数式与指数式的互化：ax =N间 负数和零没有对数 • 44 • 2. 对数函数的概念 函数 y= logax Ca>o ，且 α手1) 叫做对数函数，其 中 z 是自变量，函数的定义域是Co,+00). )y=iogax 的 3 个特征 : (1）底数 a>o ，且 α并1; I (2）自变量工＞o ; \q！函数值域为良－ 3. 对数函数 y二 logax Ca>O，且 α =,t: 1) 的图象与 性质 底数 α＞1 O< a<l … … y ' y ' 图象 :1－－－－一一y一＝lo一ga元 \!1 。｜／！ x 。 x y=log.x 定义域： 值域： 图象过定点 ，即恒有 logal二O 性质 当工＞1 时，恒有 y>O; 当 x>l 时，恒有 y<O ; 当 O<x<l 时，恒有 y<O 当 O<x<l 时，恒有 y>O 在co , +00）上是 在co,+00）上是 注意 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a> l 和 o<a<l 两种情况进行讨论 4. 反函数 指数函数 y=ax cα＞o ，且 α=,t: 1)与对数函数 y= logax (a>O ，且 α宁可）互为反函数，它们的图象关 于直线 对称 t教师点评］1 谨记运算法则有关口诀：积的对数 变加法；商的对数变减法；寨的乘方取对数，要把 指数提到前－ C教师点i平］2 注意对数函数图象在坐标系中的分 布规律：在直线工＝ l 的右侧，当 α＞ 1 时，底数越 大，图象越靠近 z 轴； 当 o＜α＜ 1 时，底数越小， 图象越靠近 z 轴，即“底大图低”． 经典结论永流传 1. 换底公式的变形 ( 1) lo gab • logz lV吕bU 于 0 且不等于 1); (2) logambn ＝三lo叭 45 第二章 函数概念与基本初等函数 ioσ M lo口，M : (3) logNM ＝」：！：：...：..：.... ＝ 二ιCa,b,N 均大于 0 : b川 logaN logbN j 且不等于 1,M > o). : 2. 换底公式的推广 : logab • lo