第二章 第二节 函数的单调性与最值-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数字 【点评】 求解复合型抽象函数 y=f(g(x））的定 义域，常常通过换元设 t=g(x） ，根据函数 y= J(t） 的定义域，得到 g(x）的范围，从而解出 z 的 范围．同时，在求函数的定义域时要兼顾函数的 整体结构，要使函数各部分都有意义． 类型二 抽象函数的函数值 赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过 观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻 找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函 数的奇偶性和周期性来转化解答． 【例 2】 已知函数 f(x） 为定义在 R 上的奇函数， 当 z二三 0 时，有 f(x +3 ) = -J （川， 且当 zε (0,3）时，J(x） 二x十1 ，则 f( 2 023) + f(2 024) () A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【点评】 对于抽象函数求值，常常利用恰当赋值 解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题 之间的关系，把满足条件的特殊值赋给函数中的 某个变量，这是解决抽象函数求值问题的常用 策略． 类型三 抽象函数的单调性与抽象不等式 抽象函数的单调性一直是高考考查的难点，常 出现在一些综合性问题中，需要先对所含的参数进 行分类讨论或根据已知条件确定出参数的范围，再 根据单调性求解或证明抽象不等式． 【例 3】 定义在 R 上的奇函数 Y = f ( x ）在（ 0, 十∞）上单调递增，且 f ( t ） 二 0，则不等式 J(logfx)>o 的解集为一一一一一· 【点评】 在解决与抽象函数有关的不等 式 问题 时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求 解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行； 若不等式一边没有“f”， 而是常数，则应将常数转 化为函数值，如本例中 1（－÷） = o,J( t) = O. 类型四 抽象函数的对称性 已知函数 f(x）是定义在 R上的函数． (1）若 f（α十工） = J(b x）恒成立，则 y= J(x) a+b 的图象关于直线 x＝一一对称，特别地，若 f（α＋ 2 工）＝ JCα－x）恒成立，则 y= f(x） 的图象关于直线 x=a 对称； (2）若函数 y二 J(x）满足 f（α＋x） 十J(a x) =O ，即 f(x) = - J(2α－x），则 JC川的图象关于点 （α ， 0）对称． 【侣。 4】 (2023 •日照模拟）函数 y= f(x）对任意 z仨R都有 f(x+ 2) = f( 川成立，且函数 y= f(x-1)的图象关于点（1, 0）对称， J(l) = 4 ， 则 J(2 020）十 f(2 021) + f(2 022 ）的值为 【点评】 利用对称性求解不等式，一般是先利用 函数的奇偶性与图象的对称性（偶函数图象关于 y 轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称），转换 到同一单调区间上，然后脱去抽象不等式中的符 号“f”，转化为常规的不等式，进而求得不等式的 解集． 第工节 函数的单调性与最值 I⑦课程标准。。。。 习 新课程标准 考向预测 命题 1. 确定函数的单调性（区间） 2. 函数单调性的应用 角度 1. 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 3. 函数的最值（值域） 2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 核心 数学抽象、逻辑推理 素养 • 28 • 币基础知识。φ令。 C•J日l~~匪i.'.'I~· ［知识梳理］ 1. :1:1曾函数、减函数 定义：设函数 f(x） 的定义域为 I: (1）增函数：如果对于定义域 I 内 上的 任意两个自变量的值X} ,Xz ，当工1 ＜工2 时，都有 ，那么就说函数 f(x）在区间 D 上是增 函数． (2）减函数：如果对于定义域 I 内 上的 任意两个自变量的值句，句，当工1 ＜工2 时，都有 ，那么就说函数 f(x）在区间 D 上是减 函数． 2 . 单调性 、单调区间 若函数 y=f(x）在区间 D 上是 或 ，则称函数 y= f(x）在这一区间具有（严格 的）单调性，区间 D 叫做函数 y = f(x） 的单调 区间． 3 . 函数的最值 设函数 y=f（川的定义域为 I，如果存在实数M 满足： (1）对于任意的工εI，都有 或 (2）存在 工。 εI，使得 f(xo)=M. 那么，我们称 M是函数 Y = f(x ） 的最大值或最 小值． C教师点评］1 “函数的单调区间是 M”与“函数在 区间 N上单调”有什么不同？ C教师点评］2 任何一个函数都存在最值吗？ ：经典结论永流传 :i. 若函数 f（川，g(x）在区间 I 上具有单调性，则： 在区间 I上具有以下性质： (1）当 f(x),g(x ）都是增（减）函数时， f(x) + g(x）是增（减）函数 ； (2）若 k