1.1 空间向量及其运算（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量及其运算 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 3 共线向量 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线(其中) (4) 与共线的单位向量为. 4 共面向量 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【题型一】 空间向量的相关概念 【典题1】给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②若空间向量满足，，则； ③零向量没有方向； ④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 巩固练习 1(★) 下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若，则与的长度相等，方向相同或相反 D．若与是相反向量，则 2(★) 下列说法正确的是(　　)． A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段[来源:学科网ZXXK] D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【题型二】空间向量的线性运算 【典题1】如图所示，在平行六面体中为与的交点， 若，，则　　) A． B． C． D． 【典题2】如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）． 巩固练习 1(★) 已知空间四边形中，，，，则等于(　　)． A． B． C． D． 2(★) 已知三棱锥中，是的中点，则(　　) A． B． C． D． 3(★★) 如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点．若，其中为实数，则的值是(　　) A． B． C． D． 4(★★) 如图，是三棱锥的底面的重心，若，则的值为 . 5(★) 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________． 6(★★) 如图，四面体中，分别是线段的中点，已知，则 （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，使得． 其中正确的结论是　 　．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 7(★★) 如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 . 8(★★) 在三棱锥中，为内一点，若，则 . (用，，表示) 【题型三】空间向量共线共面问题 【典题1】如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且，求证：三点共线． 【典题2】如图所示，已知四边形是平行四边形，点是四边形所在平面外一点，连接，设点分别为的重心．试用向量法证明四点共面． 巩固练习 1(★) 已知向量且，则一定共线的三点为(　　)． A． B． C． D． 2(★) 在下列条件中，使与一定共面的是(　　) A． B． C． D． 3(★) (多选题)在以下命题中，不正确的命题有( ) A．若与共线，与共线，则与共线 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，若， 则四点共面 D．若两个非零空间向量，满足，则 4(★★) 对于空间任意一点，以下条件可以判定点共线的是 　 　（填序号）． ①；②； ③；④． 5(★★) 已知在正方体中，为空间任意两点，如果有，那么点必在平面 内. 6(★★) 在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，