1.2 空间向量基本定理（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量基本定理 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 . 若，则点四点共面. 【题型一】 空间向量基本定理的理解 【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( ) A． B． C． D． 【典题2】已知非零向量，，且不共面．若，则 . 【典题3】 如围在四面体中，分别在棱上且满足，点是线段的中点，用向量表示向量应为(　　) A． B． C． D． 巩固练习 1(★) 是空间向量的一个基底，设，给出下列向量组： ①，②，③，④，其中可以作为空间向量基底的向量组有( )组． A．1 B．2 C．3 D．4 2.(★)已知为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A．共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 3(★) (多选题)下面四个结论正确的是( ) A．空间向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．任意向量满足 4(★★) 如图所示，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则　( ) A． B． C． D． 5(★★) 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则　　) A． B． C． D． 6(★★) 如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于(　　) A． B． C． D． 【题型二】空间向量基本定理的应用 【典题1】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证平面. 【典题2】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，若，求证：为定值，并求出该定值． 【巩固练习】 1(★★) 如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点． (1)若，用向量表示向量； (2)若四面体的棱长均为，求． 2(★★) 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设． (1)用表示；(2)证明：． 3(★★) 如图，在平行六面体中，， ，求与所成角的余弦值. 4(★★) 如图，在棱长为的正方体中分别为，的中点，点在上，且 求证:；求与所成角的余弦值. 5(★★★) 在正四面体中，分别是的中点．设． (1)用表示； (2)求证：； (3)求证：四点共面． 6(★★★) 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (Ⅰ)用向量表示向量； (Ⅱ)求证：共面； (Ⅲ)当为何值时，． 7(★★★) 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 8(★★★) 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且. 求证 . 9(★★★) 已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！zxxk.com 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量基本定理 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数