1.1.2 空间向量数量积的运算（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量数量积的运算 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点 作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2向量的模 设则有向线段 的长度叫做向量的长度或模，记作. 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 4 空间向量数量积的性质 1 ② 5 空间向量数量积运算律 ① ② (交换律) ③ (分配律) ④不满足乘法结合律: 【题型一】数量积的运算 【典题1】如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则　　． 【典题2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( ) A． B． C． D． 巩固练习 1(★) 在棱长为的正方体中，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 2(★) 已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3(★) 平面上有四个互异点，已知，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 4 (★★) 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5(★★) 如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 6(★★) 已知四面体，，，，，则　　． 7(★★★) 在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， . 8(★★★) 如图，四棱锥中，垂直平分，，则的值是　　． 9(★★★★) 已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为　　 ． 【题型二】数量积的应用 【典题1】 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长． 【典题2】已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角． 巩固练习 1(★★) 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设． （1）用表示 ；（2）求的长． 2(★★) 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）；（2）的长；（3）的长． 3(★★) 如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值． 4(★) 如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角． 5(★★) 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 6(★★) 已知空间四边形中，，且.分别是的中点，是的中点，求证： 7(★★) 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 8(★★★) 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，． (1)求侧棱的长； (2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角． 【题型三】数量积的最值 【典题1】已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 巩固练习 1(★★) 已知球内切于正四面体且正四面体的棱长为2线段是球的一条动直径(是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是　 　． 2(★★★) 已知球是棱长为的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　． 3(★★★) 如图，在四棱台中，，，则的最小值为 　　． 4(★★★) 已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是 . 5(★★★★) 如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为　 　． 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！zxxk.com 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量数量积的运算 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点 作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2向量的模 设则有向线段 的长度叫做向量的长度或模，记作. 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 4 空间向量数量积的性质 1 ② 5 空间向量数量积运算律 ① ② (交换律) ③ (分配律) ④不满足乘法结合律: 【题型一】数量积的运算 【典题1】如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则　　． 【解析】在三棱锥中，连结，取的中点为，连结，则， 异面直线所成的角就是． ，，点分别是的中点， ， 又． ． 由图可知，与所成角为钝角，则． ． 故答案为：． 【典题2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( ) A． B． C． D． 【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体， 分别为棱的中点， ． 故选：． 【点拨